Soma dos termos de uma PG infinita

Sabemos que a soma dos termos de uma PG finita é dada pela fórmula:

Se considerarmos uma PG com a razão sendo um número entre -1 e 1, ou seja, – 1 < q < 1, a fórmula para a soma dos termos sofre uma variação, em virtude de a razão estar compreendida nesse intervalo. Acontece que para – 1 < q < 1, à medida que o número de elementos n aumenta indefinidamente (tende ao infinito), a expressão qⁿ se aproxima muito de zero (tende a zero). Dessa forma, ao substituir qⁿ por zero, a fórmula da soma fica:

Ou

Que pode ser reescrita como:

Que é a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita com – 1 < q < 1.

Vejamos alguns exemplos de aplicação da fórmula.

Exemplo 1. Dada a PG (1,1/2,1/4,1/8,1/16…), obtenha a soma de todos os seus termos.

Solução: Temos que:
a₁ = 1

Segue que:

Exemplo 2. Resolva a equação:

Solução: Observe que o lado esquerdo da igualdade é a soma dos infinitos termos de uma PG de razão:

Para resolver a equação precisamos determinar qual a soma dos termos do lado esquerdo da igualdade. Para isso utilizaremos a fórmula da soma dos termos da PG infinita.

Assim, podemos reescrever o lado esquerdo da igualdade da seguinte forma:

Dessa forma, teremos:

x = 16

Portanto a solução da equação é x = 16.

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: