Seno, cosseno e tangente

Seno, cosseno e tangente são razões capazes de relacionar lados e ângulos em triângulos retângulos. Elas são a base para a trigonometria e, por isso, são chamadas de razões trigonométricas.

Por meio dessas razões, é possível também estender esses cálculos para triângulos quaisquer, usando, para isso, a lei dos senos e a lei dos cossenos, por exemplo. Entretanto, seno, cosseno e tangente só podem ser calculados tendo como base um triângulo retângulo, por isso, é importante conhecer essa figura e seus elementos.

Conhecendo o triângulo retângulo

Um triângulo é chamado retângulo quando possui um ângulo reto. Não é possível que um triângulo possua dois ângulos retos, pois a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180° em qualquer hipótese. Observe, na imagem abaixo, o triângulo ABC:

O lado AB é oposto ao ângulo reto, que fica no vértice C. Em outras palavras, o lado AB não é um dos lados do ângulo reto. Esse lado é chamado de hipotenusa e os outros dois, que são lados do ângulo reto, são chamados de catetos.

Ainda na figura acima, observe que o lado CB é oposto ao ângulo α. Esse lado é um dos catetos, que fica conhecido como cateto oposto ao ângulo α. O outro cateto, o lado AC, será chamado de cateto adjacente ao ângulo α.

Se estivéssemos analisando o ângulo β, o cateto oposto seria AC e o cateto adjacente seria CB.

Razão seno

A razão seno deve ser avaliada tendo como base o ângulo α ou o ângulo β. Ela é definida como:

senα = Cateto oposto a α
          hipotenusa

Observe que a “variável” dessa razão é o ângulo. Portanto, independentemente do comprimento dos lados do triângulo retângulo, só haverá variação no valor do seno se houver variação no ângulo avaliado.

Nos dois triângulos a seguir, a razão entre o cateto oposto ao ângulo de 30° e a hipotenusa será igual a 1/2, mesmo que os triângulos tenham lados com medidas distintas.

Razão cosseno

Para calcular a razão cosseno, também devemos fixar um dos dois ângulos agudos do triângulo retângulo. Supondo que o ângulo escolhido fosse α, teremos:

cos α = Cateto adjacente a α
         hipotenusa

Essa razão também não varia conforme os comprimentos dos lados do triângulo. Sua variação está ligada apenas ao ângulo α. Se houver variação nesse ângulo, o valor do cosseno também varia.

Razão tangente

Para definir a razão tangente, também devemos fixar um dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Fixando α, temos:

Tg α =   Cateto oposto a α   
          Cateto adjacente a α

Mais uma vez, o resultado dessa razão não depende das medidas dos lados do triângulo. Para um mesmo ângulo, triângulos com lados diferentes terão tangentes iguais.

Ângulos notáveis

Sabendo que as variações nos valores de seno, cosseno e tangente referem-se ao ângulo, é possível construir uma tabela com os valores mais importantes dessas razões. Esses números são obtidos ao substituir as medidas do cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa nas razões acima.

Exemplo

No triângulo a seguir, determine o valor de x.

Observe que o triângulo é retângulo e que o ângulo em destaque mede 30°. Como x é o cateto oposto a 30° e 48 cm é a medida da hipotenusa, a única razão que pode ser usada é a razão seno, pois é a única que envolve cateto oposto e hipotenusa.

Assim, temos:

senα = Cateto oposto a α
         hipotenusa

sen30° =  x  
              48 

Dessa forma, ao buscar o valor de sen30° na tabela dada e substituí-lo nessa igualdade:

sen30° =   x  
             48

1 =  x  
2    48

Em seguida, basta resolver a equação resultante utilizando, para isso, qualquer método válido. Faremos por meio da propriedade fundamental das proporções.

2x = 48

x = 48
       2

x = 24 cm.

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