Retas perpendiculares

Retas perpendiculares são retas que se cruzam formando um ângulo de 90º. Ao realizar o estudo de duas retas no plano cartesiano, é possível calcular se elas são perpendiculares utilizando as informações sobre suas respectivas equações reduzida e geral.

Leia também: Conceito de ponto, reta, plano e espaço

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre retas perpendiculares
• 2 - O que são as retas perpendiculares?
• 3 - Retas perpendiculares no plano
• 4 - Propriedades das retas perpendiculares
• 5 - Coeficiente angular de retas perpendiculares
• 6 - Como se identifica duas retas perpendiculares entre si
  • Método prático
• 7 - Outros tipos de retas
• 8 - Exercícios resolvidos sobre retas perpendiculares

Resumo sobre retas perpendiculares

• Retas perpendiculares são retas que se cruzam formando um ângulo de 90°.
• Por meio das equações reduzida e geral de duas retas, é possível determinar se elas são perpendiculares.
• Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.
• Duas retas \(r: a_rx+b_ry=c_r \ e\ s: a_sx+b_sy=c_s\) são perpendiculares se:

\(a_r\cdot a_s+b_r\cdot b_s=0\)

O que são as retas perpendiculares?

Duas retas que pertencem a um mesmo plano e que se cruzam em determinado ponto são ditas perpendiculares se o ângulo formado entre elas for reto, isto é, um ângulo de 90° .

Uma maneira de denotar que duas retas r e s são perpendiculares entre si é por meio da notação: r⊥s  (“r”  é perpendicular a "s" ).

Na imagem a seguir, as retas r e s são perpendiculares entre si, de modo que o ângulo reto entre elas é representado por um quadrado:

Retas perpendiculares no plano

Em relação ao estudo das retas perpendiculares, o objetivo maior é descobrir quando duas retas são ou não perpendiculares entre si. Para isso, é necessário fazer uma abordagem analítica delas, sendo necessário, dessa forma, adotar um sistema de coordenadas que as contenha.

Assim, o estudo das retas geralmente é feito com base no plano cartesiano, no qual cada reta poderá ser descrita com base nas coordenadas x e y desse plano.

Propriedades das retas perpendiculares

Com base na perpendicularidade entre duas retas, é possível destacar algumas propriedades comuns a elas.

• Propriedade 1: Se uma reta r estiver contida em um plano e uma reta s for perpendicular a ela, então essa reta s também estará contida nesse plano.

Assim, existe apenas um plano que contenha duas retas perpendiculares.

• Propriedade 2: Se existirem duas retas s₁ e s₂ perpendiculares a uma mesma reta r, então s₁ e s₂ são paralelas entre si.

Se r  é perpendicular a s₁ e s₂, então s e s₂ são paralelas entre si.

Coeficiente angular de retas perpendiculares

Por meio de conceitos de geometria analítica, é possível determinar quando duas retas são ou não perpendiculares entre si. Uma forma de analisar essa condição é pela análise dos coeficientes angulares de cada uma das retas com base em suas equações reduzidas.

Considere as equações reduzidas de duas retas r  e s :

\(Equação\ reduzida\ da \ reta\ r: y_r=m_r\cdot x+n_r\)

\(Equação\ reduzida\ da\ reta\ s: y_s=m_s\cdot x+n_s\)

Analisando os coeficientes angulares m_r e m_s das retas r e s, respectivamente, é possível afirmar que essas retas são perpendiculares se:

\(m_r\cdot m_s=-1\)

Como se identifica duas retas perpendiculares entre si

Sabendo a equação reduzida de duas retas, é possível identificar se elas são perpendiculares ou não, conforme a relação estabelecida anteriormente.

• Exemplo 1: Verifique se as retas \(r:y=x-4 \ \ e s:y=-x+1\) são perpendiculares.

O coeficiente angular da reta r é \(m_r=1\), enquanto o coeficiente angular da reta s  é \(m_s=-1\). Portanto, o produto entre esses valores é igual a:

\(m_r\cdot m_s=1\cdot\left(-1\right)=-1\)

Dessa forma, as retas r e s são perpendiculares entre si.

• Exemplo 2: Verifique se as retas \(r:y=2x+7 \ e\ s:y=-2x-3\) são perpendiculares.

Nesse exemplo, o coeficiente angular da reta r é \(m_r=2\). Já o coeficiente angular da reta s  é \(m_s=-2\). Assim, o produto entre esses valores é igual a:

\(m_r\cdot m_s=2\cdot\left(-2\right)=-4\)

Portanto, nesse caso, as retas r e s não são perpendiculares entre si.

• Método prático

Existe um método para determinar se duas retas são ou não perpendiculares sem a necessidade de encontrar suas equações reduzidas, utilizando-se para isso a informação sobre a equação geral de cada uma delas.

Considere as equações gerais de duas retas r e s:

\(Equação\ geral\ da\ reta \ r:a_rx+b_ry=c_r\)

\(Equação\ geral \ da\ reta s:a_sx+b_sy=c_s\)

As retas r e s serão perpendiculares entre si se a seguinte relação for satisfeita:

\(a_r\cdot a_s+b_r\cdot b_s=0\)

Exemplo:

Verifique se as retas \(r:3x+4y=3 \ e \ s:8x-6y=7\) são perpendiculares.

Os coeficientes da reta r são \(a_r=3 \ e\ b_r=4\). Já os coeficientes da reta s são \(a_s=8 \ e\ b_s=-6\). Assim:

\(a_r\cdot a_s+b_r\cdot b_s=3\cdot8+4\cdot\left(-6\right)=24-24=0\)

Portanto, as retas r  e s  são perpendiculares entre si.

Leia também: Como determinar a distância entre um ponto e uma reta?

Outros tipos de retas

Ao analisar-se a posição relativa entre duas retas distintas contidas em um mesmo plano, é possível que elas sejam concorrentes ou paralelas:

• Retas concorrentes: possuem algum ponto em comum, ou seja, se cruzam em algum ponto. Caso o ângulo entre essas duas retas seja um ângulo reto (de 90°), essas retas concorrentes são chamadas de perpendiculares.
• Retas paralelas: não possuem nenhum ponto em comum, ou seja, não se cruzam em nenhum ponto.

Exercícios resolvidos sobre retas perpendiculares

Questão 1

Qual deve ser o valor do coeficiente angular da reta \(r:y=m_r\cdot x+12\) para que ela seja perpendicular à reta \(s:y=2x-5\)?

a) -1

b) \(-\frac{1}{2}\)

c) 0

d) \(\frac{1}{2}\)

e) 1

Resolução: letra B

Pela equação reduzida de duas retas, é possível determinar se elas são perpendiculares caso o produto entre seus coeficientes angulares seja igual a -1.

Tomando m_s=2 , tem-se:

\(m_r\cdot m_s=-1\)

\(m_r\cdot2=-1\)

\(m_r=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}\)

Questão 2

Qual deve ser o valor do coeficiente k na equação geral da reta \(r:k\cdot x+3y=-7\) para que ela seja perpendicular à reta \(s:2x+4y=5\)?

a) -6

b) -5

c) -4

d) -3

e) -2

Resolução: letra A

Ao analisar-se a equação geral de duas retas, é possível concluir que elas são perpendiculares se a seguinte condição for satisfeita:

\(a_r\cdot a_s+b_r\cdot b_s=0\)

Tomando \(a_r=k, b_r=3, a_s=2 \ e \ b_s=4\), tem-se:

\(k\cdot2+3\cdot4=0\)

\(2k=-12\)

\(k=\frac{-12}{2}=-6\)

Fontes:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 7: geometria analítica. 6. ed. São Paulo: Atual, 2013.

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. 1. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.