Regra de três simples

Regra de três simples é um método utilizado para encontrar valores desconhecidos que envolvem grandezas relacionadas de forma proporcional. Ela pode ser aplicada quando conhecemos o valor de três medidas e queremos descobrir um quarto valor, por exemplo.

Quando as grandezas são proporcionais, para aplicar a regra de três, é fundamental identificar se elas são direta ou inversamente proporcionais, pois, em cada caso, aplicamos a regra de três de uma maneira.

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Tópicos deste artigo

• 1 - Regra de três e as grandezas direta e inversamente proporcionais
• 2 - Passo a passo para resolver uma regra de três
• 3 - Regra de três com grandezas diretamente proporcionais
• 4 - Regra de três com grandezas inversamente proporcionais
• 5 - Diferença entre regra de três composta e simples
• 6 - Exercícios resolvidos

Regra de três e as grandezas direta e inversamente proporcionais

Para compreender como se utiliza a regra de três com o propósito de encontrar valores desconhecidos, é fundamental entender o que são grandezas direta e inversamente proporcionais, pois, para cada um desses casos, a regra de três é aplicada de maneira diferente.

Grandeza é tudo aquele que pode ser medido, como velocidade, massa, densidade, comprimento, tempo, entre outras. Existem alguns casos em que, ao comparar essas grandezas, é possível perceber uma relação entre elas, havendo duas possibilidades: as grandezas diretamente proporcionais e as grandezas inversamente proporcionais.

→ Grandezas diretamente proporcionais

Quando comparamos duas grandezas, elas são consideradas diretamente proporcionais quando se relacionam de forma direta. Isso significa que, à medida que uma das grandezas aumenta seu valor, a outra também aumenta na mesma proporção. O mesmo acontece quando uma delas diminui, ou seja, à medida que uma dessas grandezas diminui o seu valor, a outra também diminui.

Se dobrarmos o peso de um alimento vendido por quilo, por exemplo, o valor a ser pago também será o dobro, logo as grandezas peso e valor pago são diretamente proporcionais.

→ Grandezas inversamente proporcionais

Quando comparamos duas grandezas, elas podem ser consideradas inversamente proporcionais quando se relacionam de maneira inversa, isto é, à medida que uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção.

A velocidade e o tempo, por exemplo, relacionam-se de forma inversamente proporcional, pois, dado um mesmo percurso, se dobramos a velocidade, o tempo que se leva para chegar ao destino é a metade do tempo que se gastaria antes. Note que, quando a velocidade aumenta, o tempo diminui na mesma proporção.

Passo a passo para resolver uma regra de três

Para encontrar valores desconhecidos utilizando regra de três, basta executar o passo a passo a seguir.

• 1º passo: identificar quais são as grandezas envolvidas no problema.

• 2º passo: construir uma tabela colocando grandezas iguais em uma mesma coluna.

• 3º passo: verificar se a relação entre as grandezas é diretamente proporcional ou inversamente proporcional.

• 4º passo: montar a equação utilizando o método de resolução correto, o que depende da relação entre as grandezas:

1. se as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicamos cruzado e resolvemos a equação.

2. se as grandezas são inversamente proporcionais, multiplicamos reto e resolvemos a equação.

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Regra de três com grandezas diretamente proporcionais

Vamos aplicar o passo a passo para resolver uma regra de três que envolve grandezas diretamente proporcionais.

Exemplo:

Em uma fábrica de extrato de tomate, três máquinas igualmente capazes produzem 13.500 extratos por dia. Se nessa fábrica houvesse sete máquinas, qual seria o total de extratos produzidos por dia?

Resolução:

• 1º passo: identificar as grandezas, que são quantidade de máquinas e quantidade de extratos produzidos por dia.

• 2º passo: construção da tabela.

• 3º passo: verificar a relação entre as grandezas.

Como as máquinas possuem o mesmo desempenho, a produção será proporcional: se aumentarmos a quantidade de máquinas, a quantidade de extratos produzidos também aumentará de forma proporcional.

• 4º passo: montar a equação.

Como as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicaremos os valores da tabela de forma cruzada:

3x = 7 · 13.500

3x = 94.500

x = 94.500 : 3

x = 31.500

Então, com 7 máquinas, serão produzidos 31.500 extratos de tomate.

Regra de três com grandezas inversamente proporcionais

Com grandezas inversamente proporcionais, os três primeiros passos são os mesmos para as grandezas diretamente proporcionais, o que muda é o quarto passo, no momento de montar a equação.

Exemplo:

Uma das etapas mais importantes na construção civil é a pintura, que auxilia na conservação das paredes, além da importante função estética. Na construção de um prédio, 8 pintores levariam 12 dias para pintar todos os apartamentos. Caso 2 deles fossem dispensados desse serviço, qual seria o tempo gasto para que os 6 pintores restantes pintassem todos os apartamentos?

Resolução:

• 1º passo: identificação das grandezas, que são quantidade de pintores e dias.

• 2º passo: construção da tabela.

• 3º passo: verificar a relação entre as grandezas.

Ao comparar as grandezas, sabemos que, se a quantidade de pintores para fazer esse serviço for menor, o tempo que eles levarão para realizar o mesmo serviço aumentará, o que faz com que as grandezas sejam inversamente proporcionais.

• 4º passo: montar a equação.

Quando as grandezas são inversamente proporcionais, multiplicamos reto:

6x = 8 · 12

6x = 96

x = 96 : 6

x= 16

Então, o prazo necessário para que 6 pedreiros realizem a pintura dos apartamentos é de 16 dias.

Diferença entre regra de três composta e simples

Além da regra de três simples, existe também a regra de três composta, que nada mais é do que a adaptação da regra de três simples para problemas um pouco mais complexos, que envolvem necessariamente mais de duas grandezas.

O método da regra de três composta tem o mesmo objetivo da regra de três simples, ou seja, encontrar valores desconhecidos em problemas que envolvem grandezas proporcionais. Porém, quando há só duas grandezas, utilizamos a regra de três simples; quando há mais que três grandezas, utilizamos a composta. Para saber mais, leia nosso texto específico: Regra de três composta.

Exercícios resolvidos

1) Durante a pandemia de covid-19, uma fábrica de equipamentos de segurança para médicos precisou aumentar a sua produção, principalmente das máscaras N95, devido à recomendação do uso desse tipo de máscara pela população como medida de evitar as contaminações. Antes da pandemia, a fábrica possuía quatro máquinas para a fabricação de máscaras, que produziam diariamente 12.500 máscaras. Para atender a nova demanda, o total de máquinas necessário para que sejam produzidos 50.000 máscaras diariamente é:

a) 18.
b) 16.
c) 14.
d) 13.
e) 12.

Resolução:

Alternativa b.

As grandezas são: quantidade de máscaras e quantidade de máquinas.

Ao comparar as grandezas, sabemos que, se aumentarmos o número de máquinas, consequentemente aumentamos a produção, logo as grandezas são diretamente proporcionais.

Como as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicamos cruzado:

12.500x = 4 · 50.000

12.500x = 200.000

x = 200.000 : 12.500

x = 16

2) (Vunesp) Para realizar um determinado serviço, uma gráfica demora 9 dias, utilizando 5 máquinas, todas com a mesma capacidade de produção. Com apenas 3 dessas máquinas, o número de dias necessários para realizar esse mesmo serviço será de:

a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.

Resolução:

Alternativa e.

As grandezas são: quantidade de máquinas e dias.

Sabemos que elas são inversamente proporcionais, pois, ao reduzir a quantidade de máquinas, o tempo necessário para executar esse mesmo serviço aumenta.

Montando a tabela:

Como as grandezas são inversamente proporcionais, multiplicaremos reto:

3x = 9 · 5

3x = 45

x = 45 : 3

x = 15