Probabilidade da intersecção de dois eventos

A probabilidade da intersecção de dois eventos ou probabilidade de eventos sucessivos determina a chance, a possibilidade, de dois eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente. Para o cálculo desse tipo de probabilidade devemos interpretar muito bem os problemas, lendo com atenção e fazendo o uso da seguinte fórmula:

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S. A probabilidade de A ∩ B é dada por:

Onde
p(A∩B)  → é a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B
p(A) → é a probabilidade de ocorrer o evento A
p(B?A)  → é a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo da ocorrência de A (probabilidade condicional)

Se os eventos A e B forem independentes (ou seja, se a ocorrência de um não interferir na probabilidade de ocorrer outro), a fórmula para o cálculo da probabilidade da intersecção será dada por:

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4?

Solução: O que determina a utilização da fórmula da intersecção para resolução desse problema é a palavra “e” na frase “a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4”. Lembre-se que na matemática “e” representa intersecção, enquanto “ou” representa união.

Note que a ocorrência de um dos eventos não interfere na ocorrência do outro. Temos, então, dois eventos independentes. Vamos identificar cada um dos eventos.

Evento A: sair um número ímpar = {1, 3, 5}
Evento B: sair o número 4 = {4}
Espaço Amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Temos que:

Assim, teremos:

Exemplo 2. Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de ter saído um número par e um múltiplo de 5?

Solução: Primeiro passo é identificar os eventos e o espaço amostral.

Evento A: sair um número par = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Evento B: sair um múltiplo de 5 = {5, 10, 15, 20}
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Como as duas bolinhas foram retiradas uma após a outra e não houve reposição, ou seja, não foram devolvidas à urna, a ocorrência do evento A interfere na ocorrência do B, pois haverá na urna somente 19 bolinhas após a retirada da primeira.

Assim, temos que:

Após a retirada da primeira bola, ficamos com 19 bolinhas na urna. Logo, teremos:

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