O conjunto dos números complexos é formado por todos os números z tais que z = a + bi, sendo a e b números reais e i = √(– 1). Nessa definição, o termo “a” é chamado de parte real do número complexo z, e o termo “bi” é parte imaginária. É também por conta dessa definição que existe um padrão nos resultados das potências que envolvem apenas “i”, as quais serão discutidas neste artigo. Conhecer os resultados dessas potências é indispensável para conseguir lidar bem com todas as operações matemáticas que também são definidas para esse conjunto.
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Potências de i
Para calcular as potências de i, é importante saber que o quadrado da raiz quadrada de n é o próprio n. Como i é uma raiz quadrada, às vezes será possível simplificar o resultado fazendo:
ii = √(– 1)√(– 1) = √(– 1)2 = – 1
Além disso, também é necessário conhecer algumas propriedades de potência para encontrar as potências de i. Essas potências são:
i0 = 1
i1 = i
12 = – 1
i3 = i2·i = – 1·i = – i
i4 = i2· i2 = (– 1)·(– 1) = 1
i5 = i4·i = 1·i = i
i6 = i4·i2 = 1·(– 1) = – 1
i7 = i6·i = (– 1)·i = – i
i8 = i6·i2 = (– 1)·(– 1) = 1
i9 = i8·i = 1·i = i
i10 = i8·i2 = 1·(– 1) = – 1
i11 = i10·i = (– 1)i = – i
i12 = i10·i2 = (– 1)·(– 1) = 1
…
Os motivos dos dois primeiros resultados evidenciados acima são as propriedades de potência. Lembre-se de que todo número elevado a zero tem 1 como resultado, e todo número elevado a 1 tem ele mesmo como resultado.
Além disso, perceba que os resultados possíveis para as potências de i são:
1, i, - 1 e - i
Calculando potências de i
A cada quatro potências, os valores de in variam entre 1, i, - 1 e - i, nessa ordem. Observe que i0 = i4 = i8 … O mesmo vale para as outras potências, que sempre serão iguais a alguma das potências de i a seguir:
i0, i1, i2 ou i3
Assim, para encontrar o valor de alguma potência de i, basta dividir seu expoente por 4. Ela terá o mesmo resultado que i elevado ao resto da divisão. Por exemplo: i130.
130 | 4
– 12 32
10
– 8
2
Logo, i130 = i2 = - 1
