Os pontos notáveis do triângulo são pontos que marcam a interseção de determinados elementos de um triângulo (polígono que possui três lados e três ângulos). Para encontrar a posição geométrica de cada um dos quatro pontos notáveis, é necessário conhecer os conceitos de mediana, bissetriz, mediatriz e altura de um triângulo.
Leia também: Qual é a condição de existência de um triângulo?
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre os pontos notáveis do triângulo
- 2 - Videoaula sobre os pontos notáveis do triângulo
- 3 - Quais são os pontos notáveis do triângulo?
- 4 - Exercícios resolvidos sobre os pontos notáveis do triângulo
Resumo sobre os pontos notáveis do triângulo
- Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro são os pontos notáveis de um triângulo.
- Baricentro é o ponto de encontro das medianas do triângulo.
- O baricentro divide cada mediana de tal forma que o segmento maior da mediana é o dobro do segmento menor.
- Incentro é o ponto de interseção das bissetrizes do triângulo.
- O centro da circunferência inscrita ao triângulo é o incentro.
- Circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes do triângulo.
- O centro da circunferência circunscrita ao triângulo é o circuncentro.
- Ortocentro é o ponto de interseção das alturas do triângulo.
Videoaula sobre os pontos notáveis do triângulo
Quais são os pontos notáveis do triângulo?
Os quatro pontos notáveis do triângulo são baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro. Esses pontos estão relacionados, respectivamente, à mediana, bissetriz, mediatriz e altura do triângulo. Vejamos o que são esses elementos geométricos e qual a relação de cada um com os pontos notáveis do triângulo.
→ Baricentro
O baricentro é o ponto notável do triângulo que está relacionado à mediana. A mediana de um triângulo é o segmento com uma extremidade em um dos vértices e a outra extremidade no ponto médio do lado oposto. No triângulo ABC abaixo, H é o ponto médio de BC e o segmento AH é a mediana relativa ao vértice A.
Da mesma maneira, podemos encontrar as medianas relativas aos vértices B e C. Na imagem abaixo, I é o ponto médio de AB e J é o ponto médio de AC. Assim, BJ e CI são as outras medianas do triângulo.
Note que K é o ponto de encontro das três medianas. Esse ponto de encontro das medianas é chamado de baricentro do triângulo ABC.
- Propriedade: o baricentro divide cada mediana de um triângulo na proporção 1:2.
Considere, por exemplo, a mediana AH do exemplo anterior. Note que o segmento KH é menor que o segmento AK. De acordo com a propriedade, temos que
\(\frac{KH}{AK}=\frac{1}{2}\)
Ou seja,
\(AK=2KH\)
→ Incentro
O incentro é o ponto notável do triângulo que está relacionado à bissetriz. A bissetriz de um triângulo é a semirreta com extremidade em um dos vértices que dividem o ângulo interno correspondente em ângulos congruentes. No triângulo ABC abaixo, temos a bissetriz relativa ao vértice A.
Da mesma forma, podemos obter as bissetrizes relativas aos vértices B e C:
Observe que P é o ponto de encontro das três bissetrizes. Esse ponto de encontro das bissetrizes é chamado de incentro do triângulo ABC.
- Propriedade: o incentro é equidistante dos três lados do triângulo. Assim, esse ponto é o centro da circunferência inscrita ao triângulo.
Veja também: Qual é o teorema da bissetriz interna?
→ Circuncentro
O circuncentro é o ponto notável do triângulo que está relacionado à mediatriz. A mediatriz de um triângulo é a reta perpendicular ao ponto médio de um dos lados do triângulo. Adiante, temos a mediatriz do segmento BC do triângulo ABC.
Construindo as mediatrizes dos segmentos AB e AC, obtemos a seguinte figura:
Perceba que L é o ponto de interseção das três mediatrizes. Esse ponto de interseção das mediatrizes é chamado de circuncentro do triângulo ABC.
- Propriedade: o circuncentro é equidistante dos três vértices do triângulo. Assim, esse ponto é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
→ Ortocentro
O ortocentro é o ponto notável do triângulo que está relacionado à altura. A altura de um triângulo é o segmento com extremidade em um dos vértices que formam um ângulo de 90° com o lado oposto (ou seu prolongamento). Abaixo, temos a altura relativa ao vértice A.
Desenhando as alturas relativas aos vértices B e C, produzimos a seguinte imagem:
Note que D é o ponto de interseção das três alturas. Esse ponto de interseção das alturas é chamado de ortocentro do triângulo ABC.
Importante: o triângulo ABC utilizado neste texto é um triângulo escaleno (triângulo cujos três lados possuem medidas diferentes). A figura abaixo indica os pontos notáveis do triângulo que estudamos. Note que, neste caso, os pontos ocupam posições distintas.
Em um triângulo equilátero (triângulo cujos três lados são congruentes), os pontos notáveis são coincidentes. Isso significa que o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro ocupam exatamente a mesma posição em um triângulo equilátero.
Veja também: Quais são os casos de congruência de triângulos?
Exercícios resolvidos sobre os pontos notáveis do triângulo
Questão 1
Na figura abaixo, os pontos H, I e J são os pontos médios dos lados BC, AB e AC, respectivamente.
Se AH = 6 cm, a medida, em cm, do segmento AK é
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolução:
Alternativa D.
Note que K é o baricentro do triângulo ABC. Assim,
\(AK=2KH\)
Como AH = AK + KH e AH = 6, então
\(AK=2⋅(6-AK)\)
\(AK = 12 - 2 AK\)
\(3AK = 12\)
\(AK = 4\)
Questão 2
(UFMT – adaptada) Deseja-se instalar uma fábrica num lugar que seja equidistante dos municípios A, B e C. Admita que A, B e C são pontos não colineares de uma região plana e que o triângulo ABC é escaleno. Nessas condições, o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o:
A) circuncentro do triângulo ABC.
B) baricentro do triângulo ABC.
C) incentro do triângulo ABC
D) ortocentro do triângulo ABC.
E) ponto médio do segmento AC.
Resolução:
Alternativa A.
Em um triângulo ABC, o ponto equidistante dos vértices é o circuncentro.
Fontes
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Impa, 2014.
REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.
