Parábola

No estudo da Geometria Analítica, deparamo-nos com três seções cônicas que são oriundas de cortes efetuados em um cone: a hipérbole, a elipse e a parábola. O estudo da parábola, em específico, foi fortemente divulgado pelo matemático Pierre de Fermat (1601-1655) que estabeleceu que a equação do 2° grau representa uma parábola quando seus pontos são aplicados em um plano cartesiano.

Em um plano, considere uma reta d e um ponto F que não pertence à reta d, de forma que a distância entre F e d seja dada por p. Dizemos que todos os pontos que estão a uma mesma distância tanto de F quanto de d compõem a parábola de foco F e diretriz d.

Para que fique mais clara a definição, considere P, Q, R e S como pontos pertencentes à parábola; P', Q', R' e S' como pontos pertencentes à diretriz d; e F como o foco da parábola. Em relação às distâncias, podemos afirmar que:

Na imagem estão destacados todos os principais pontos da parábola

Na imagem anterior, vimos o exemplo de uma parábola com seus principais elementos destacados. Vejamos agora quais são esses elementos principais na hipérbole:

• Foco: F

• Diretriz: d

• Parâmetro: p (distância entre o foco e a diretriz)

• Vértice: V

• Eixo de Simetria: reta

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Qualquer que seja a parábola com que se esteja trabalhando, podemos sempre estabelecer a seguinte relação notável:

A depender do eixo do sistema cartesiano coincidente com o eixo de simetria da parábola, podemos estabelecer duas equações reduzidas. Vejamos cada uma delas:

1ª Equação Reduzida da Parábola:

Se o eixo de simetria da parábola estiver sobre o eixo x, em um sistema cartesiano ortogonal, teremos o foco F (^p/₂, 0) e a diretriz d será uma reta cuja equação é x = – ^p/_2. Veja a figura a seguir:

Para parábolas semelhantes a essa, utilizamos a 1ª equação reduzida

Se P(x, y) é um ponto qualquer contido na parábola, teremos a seguinte equação reduzida:

y² = 2px

2ª Equação reduzida da parábola:

Mas se, em contrapartida, o eixo de simetria da parábola estiver sobre o eixo y em um sistema cartesiano ortogonal, a parábola será semelhante à da figura a seguir:

Para parábolas semelhantes a essa, utilizaremos a 2ª equação reduzida

Novamente considere P(x, y) como um ponto qualquer contido na parábola, teremos a seguinte equação reduzida:

x² = 2py