Uma inequação modular contém sempre uma desigualdade e a incógnita dentro do módulo. O módulo de um número é a distância que esse número está do zero. Vale ressaltar que uma inequação apresenta os sinais de desigualdade, que são:
- < (menor que);
- ≤ (menor ou igual a);
- ≥ (maior ou igual a);
- > (maior que).
Para encontrar o conjunto solução que satisfaça a inequação modular, recorremos à definição de módulo, destrinchando as possibilidades e realizando os cálculos necessários.
Leia também: Como resolver uma equação polinomial?
Tópicos deste artigo
- 1 - O que é uma inequação modular?
- 2 - Passo a passo para resolver uma inequação modular
- 3 - Exercícios resolvidos
O que é uma inequação modular?
Conhecemos como inequação modular qualquer inequação que possui a incógnita dentro de um módulo. Vale ressaltar que uma inequação é uma desigualdade. Veja os exemplos de inequação modular a seguir:
a) |x| ≤ 3
b) |x| > 5
c) |x + 4| < 2
d) |3x + 5| ≥ 4
Para resolver uma inequação modular, é necessário relembrar a definição de módulo. Seja n um número real, então:
Exemplos:
a) |4| = 4
b) | – 5| = – (– 5) = 5
Passo a passo para resolver uma inequação modular
Para resolver a inequação modular, é preciso aplicar o conceito de módulo e dividir a inequação em mais de uma, analisando cada uma das possibilidades para o valor do módulo. Tendo em vista que o problema será dividido em inequações diferentes, é necessário encontrar a solução de cada uma delas, conforme o passo a passo a seguir.
- 1º passo: dividir o módulo em casos.
- 2º passo: encontrar o conjunto de soluções de cada uma das inequações.
- 3º passo: determinar a solução comparando as respostas encontradas para cada inequação.
Exemplo 1:
|x| > 5
Iniciando com um exemplo mais simples, nesse caso vamos analisar cada um dos casos possíveis no módulo.
→ 1º caso
Sabemos que |x| = x, se x > 0, então x > 5.
→ 2º caso
Sabemos que |x| = – x, se x < 0, então:
– x > 5 ( – 1)
x < – 5
Assim sendo, as soluções para essa inequação modular são quaisquer valores maiores que 5 ou menores que –5.
S = {x Є R| -x < – 5 ou x > 5}
Veja também: Quais são as propriedades da desigualdade?
Exemplo 2:
|x + 3| < 5
Esse caso é um pouco mais complexo que o anterior. Para resolver a inequação modular, vamos dividir em dois casos.
1º caso: x +3 > 0, então | x+3| = x + 3.
x+3 < 5
x < 5 – 3
x < 2
2º caso: x + 3 < 0, então |x+3| = – (x+3) = – x – 3.
– x – 3 < 5
– x < 5 + 3
– x < 8 ( – 1)
x > – 8
Assim sendo, as soluções são S: {x ∈ R| x > – 8 ou x<2}.
Exemplo 3:
2 < | 2x – 4 | ≤ 6
Nesse caso, temos duas desigualdades:
I. |2x – 4| ≤ 6
II. |2x –4 | > 2
As duas precisam ser respeitadas simultaneamente, então vamos analisar separadamente cada uma delas e, depois, vamos encontrar a intersecção desses intervalos de solução.
I. | 2x – 4 | ≤ 6
1º caso:
2x –4 ≤ 6
2x ≤ 6 +4
2x ≤ 10
x ≤ 10/2
x ≤ 5
2º caso:
– (2x – 4) ≤ 6
– 2x + 4 ≤ 6
– 2x ≤ 6 – 4
– 2x ≤ – 2 ( – 1)
2x ≥ – 2
x ≥ – 2/2
x ≥ – 1
Agora vamos encontrar a solução para a inequação II.
II. |2x –4 | > 2
1º caso:
2x – 4 > 2
2x > 2 + 4
2x > 6
x > 6/2
x > 3
2º caso:
– (2x – 4) > 2
– 2x + 4 > 2
– 2x > 2 – 4
– 2x > – 2 ( – 1)
2x < 2
x < 2/2
x < 1
Então, encontramos como solução os seguintes intervalos:
I. – 1 ≤ x ≤ 5
II. x < 1 ou x > 3
Comparando as duas soluções, temos que:
S: {x ∈ R| – 1 ≤ x < 1 ou 3 ≤ x<5}
Acesse também: Inequação do 2° grau — desigualdade com incógnita elevada à segunda potência
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Sobre o conjunto de soluções da inequação | x + 4| < 7, podemos afirmar que ele possui:
A) nenhuma solução que pertença ao conjunto dos números naturais.
B) uma solução que pertence ao conjunto dos números naturais.
C) duas soluções que pertencem ao conjunto dos números naturais.
D) três soluções que pertencem ao conjunto dos números naturais.
E) quatro soluções que pertencem ao conjunto dos números naturais.
Resolução
Alternativa E.
Analisando a inequação, temos dois casos possíveis:
1º caso: |x+ 4| ≥ 0, então |x+4| = x + 4.
x+ 4 < 7
x < 7
x < 7 – 4
x < 3
2º caso: |x+ 4| < 0, então |x+4| = – (x+ 4).
– (x + 4) < 7
– x – 4 < 7
– x < 7 + 4
– x < 11 ( – 1 )
x > – 11
Como o conjunto de soluções são os números entre – 11 e 3, as soluções que são naturais são os números 0, 1, 2, 3, que são quatro ao todo.
Questão 2 – O conjunto de soluções da inequação |2x – 4 | ≤ 6 é o intervalo [n, k], então a diferença entre k e n é igual a:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
Resolução
Alternativa D.
Dividindo o módulo em dois casos, temos que:
1º caso: 2x – 4 ≥ 0, então |2x – 4 | = 2x – 4.
Logo, temos que:
2x – 4 ≤ 6
2x ≤ 6 + 4
2x ≤ 10
x ≤ 10/2
x≤ 5
2º caso: 2x – 4 < 0, então |2x – 4| = – (2x – 4).
Logo, temos que:
– (2x – 4) ≤ 6
– 2x + 4 ≤ 6
– 2x ≤ 6 – 4
– 2x ≤ 2 ( – 1)
2x ≥ – 2
x ≥ – 2/2
x ≥ – 1
Então, o intervalo de soluções é [ – 1, 5].
Logo, a diferença será 5 – ( – 1) = 5 + 1 = 6.
