Equações Irracionais

As equações irracionais são assim classificadas quando ao menos uma incógnita da equação encontra-se em um radicando. Através dos exemplos a seguir, desenvolveremos estratégias para resolvê-las.

1° Tipo

Entre as equações irracionais, essa é a forma ideal. Para resolvê-la, o radical deve ser eliminado. Para isso, basta elevar ao quadrado ambos os membros da equação.

2x² + 3x – 1 = (x + 1)²

Relembrando os conceitos de “Produtos Notáveis”, há no segundo membro da equação um caso de “quadrado da soma”. Vamos desenvolvê-lo e, em seguida, organizar os termos da equação a fim de escrevê-la como uma tradicional equação do 2° grau.

2x² + 3x – 1 = x² + 2x + 1

2x² – x² + 3x – 2x – 1 – 1 = 0

x² + x – 2 = 0

Agora aplicamos a Fórmula de Bhaskara:

∆ = b² – 4.a.c

∆ = (1)² – 4.1.(- 2)

∆ = 1 + 8

∆ = 9

Portanto:

x = – b ± √∆
        2.a

x = – 1 ± √9
        2

x = – 1 ± 3
      2

x' = – 1 + 3 = 2 = 1
       2        2

x' = – 1 – 3 = – 4 = – 2
   2           2

As raízes dessa equação são 1 e – 2.

2° Tipo

Para resolver essa equação, inicialmente procedemos como no caso anterior, ou seja, elevamos ao quadrado ambos os membros da equação.

O termo “–1” passará para o segundo membro da equação e, assim, teremos formada uma equação do 1° tipo. Assim, ela poderá ser resolvida analogamente à anterior.

x⁴ + 3x² – 3x + 1 = (x² + 1)²

Há novamente um caso de produtos notáveis. Basta desenvolver o quadrado da soma no segundo membro da equação.

x⁴ + 3x² – 3x + 1 = x⁴ + 2x² + 1

x⁴ – x⁴ + 3x² – 2x² – 3x + 1 – 1 = 0

x² – 3x = 0

Podemos resolver essa equação do 2° grau colocando o x como fator em evidência:

x(x – 3) = 0

x' = 0

x'' – 3 = 0 → x'' = 3

As raízes dessa equação são 0 e 3.

3° Tipo

​

Novamente, vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação:

4. (4x² – 8x – 5) = 4x² – 16x – 20

4x² – 8x – 5 = 4x² – 16x – 20
                        4

4x² – 8x – 5 = x² – 4x – 5

4x² – x² – 8x + 4x – 5 + 5 = 0

3x² – 4x = 0

x(3x – 4) = 0

x' = 0

3x'' – 4 = 0 → x'' = 4
                             3

As raízes dessa equação são 0 e ⁴/₃

Essas são as formas mais comuns com que as equações irracionais costumam apresentar-se. Em geral, nós devemos sempre isolar a raiz em um membro da equação para que, ao elevar ambos os lados da equação à potência cujo expoente seja igual ao índice da raiz, consigamos eliminar a raiz e possamos resolver a equação da forma em que ela apresentar-se.