Equação logarítmica

Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando. Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:

log_a b = x ↔ a^x = b,

*a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo, algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas propriedades.

Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:

1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:

Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos. Exemplo:

log_a b = log_a c → b = c

2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real

Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:

log_a b = x ↔ a^x = b

Veja alguns exemplos de equações logarítmicas:

1° Exemplo:

log₂ (x + 1) = 2

Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser maior do que zero:

x + 1 > 0
x > – 1

Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da seguinte forma:

log₂ (x + 1) = 2
2² = x + 1
x = 4 – 1
x = 3

2° Exemplo:

log₅ (2x + 3) = log₅ x

Testando as condições de existência, temos:

Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:

log₅ (2x + 3) = log₅ x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3

3° Exemplo:

log₃ (x + 2) – log₃ (2x) = log₃ 5

Verificando as condições de existência, temos:

Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de mesma base como um quociente:

log₃ (x + 2) – log₃ (2x) = log₃ 5
log₃ (x + 2) – log₃ (2x) = log₃ 5

Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:

x + 2 = 5
2x     
x + 2 = 10x
9x = 2
x = ²/₉

4° exemplo:

log_{x – 1} (3x + 1) = 2

Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:

Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:

log_{x – 1} (3x + 1) = 2
(x – 1)² = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5

Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível. Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.

5° exemplo:

log₃ log₆ x = 0

Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log₆ x> 0. Logo:

log₃ (log₆ x) = 0
3⁰ = log₆ x
log₆ x = 1
6¹ = x
x = 6