Decomposição em fatores primos

A decomposição em fatores primos é o nome dado ao processo de escrever um número composto na forma de produto entre números primos. Isso é possível para todo número composto, mas, para compreender esse procedimento, é bom conhecer bem o conjunto dos números primos e dos números compostos.

Tópicos deste artigo

• 1 - Números primos e compostos
• 2 - Teorema fundamental da aritmética
• 3 - Técnica para decomposição em fatores primos

Números primos e compostos

Em todo conjunto numérico, podem ser encontrados infinitos subconjuntos. O conjunto dos números naturais pode ser dividido, entre outros, entre números primos e compostos. Esses dois subconjuntos são complementares, ou seja, se um número é primo, ele não é complementar. Se ele é complementar, não é primo. Se o número é natural, ou é primo ou é complementar.

O conjunto dos números primos é formado por todos os números que são divisíveis apenas por si mesmo e por 1. O conjunto dos números compostos é formado por todos os naturais que não são primos, ou seja, que são divisíveis por, pelo menos, um número diferente de si mesmo e de 1.

Assim, o conjunto dos números primos é infinito e é formado pelos seguintes elementos:

P = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, …}

O conjunto dos números compostos é infinito e é formado pelos elementos a seguir:

C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …}

Teorema fundamental da aritmética

O teorema fundamental da aritmética é a propriedade que divide o conjunto dos números naturais em primos ou compostos:

“Todo número natural maior que 1

ou é primo ou pode ser escrito como produto

em que todos os fatores são primos”.

Exemplo: O número 19 é primo. Já o número 20 pode ser escrito como produto de fatores primos: 20 = 2·2·5 ou 2²·5.

Observe que o número 1 não é considerado primo, embora se enquadre nessa definição. Isso acontece por causa de outra propriedade dos números compostos: sua decomposição em fatores primos é única. Por exemplo, o número 20 = 2²·5. Se o número 1 for considerado primo, existirão infinitas maneiras de escrever essa decomposição:

20 = 1·2²·5

20 = 1²·2²·5

…

Note também que o único número primo par existente é o número 2. O restante dos números pares é obrigatoriamente divisível por 2.

Técnica para decomposição em fatores primos

Não é necessário encontrar os fatores primos que fazem parte da decomposição (também chamada de fatoração) dos números compostos ao acaso. É possível usar algumas técnicas para encontrar essa decomposição.

Exemplo: para decompor o número 1600, faremos o mesmo procedimento usado para encontrar o mínimo múltiplo comum entre dois números. A única diferença é que, ao final, não multiplicaremos os fatores encontrados. Lembre-se de que é preciso realizar divisões sempre pelo menor número primo possível. Observe:

1600 | 2
800 | 2
400 | 2
200 | 2

100 | 2
50 | 2
25 | 5
5 | 5
    1

A decomposição em fatores primos de 1600 é o produto entre os números obtidos do lado direito dessa cadeia de divisões:

2·2·2·2·2·2·5·5

Isso também pode ser escrito na forma de potência:

2⁶·5²

Observe que não devemos efetuar a multiplicação, mas sim escrever o produto dos fatores primos.

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: