Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. Incógnitas são números desconhecidos de uma expressão algébrica. Dessa maneira, essas expressões são formadas apenas por números – conhecidos ou desconhecidos – e por operações. Por essa razão, valem todas as operações matemáticas básicas para as frações algébricas e suas propriedades.
São exemplos de frações algébricas:
a)
1
x
b)
2x4y2
3kh
Adição e subtração de frações algébricas
A adição e a subtração de frações algébricas ocorrem da mesma maneira que a adição e subtração de frações numéricas.
1º caso: Denominadores iguais
Quando os denominadores de uma adição ou subtração de frações algébricas são iguais, conserve o denominador no resultado e realize a soma ou subtração apenas nos numeradores. Por exemplo:
28x + 15x = 28x + 15x = 43x
yx2 yx2 yx2 yx2
2º caso: Denominadores diferentes
Quando os denominadores das frações algébricas forem diferentes, a adição ou subtração seguirá os mesmos princípios da adição ou subtração de frações numéricas: primeiramente, faz-se o MMC dos denominadores; depois, encontram-se frações equivalentes com denominadores iguais ao MMC e, por fim, faz-se a soma/subtração. Veja o exemplo abaixo:
1 + x + 4x2 – 1 – x
1 – x 1 – x2 1 + x
Etapa 1: Calcule o mínimo múltiplo comum entre os denominadores.
Para isso, é necessário saber fatorar polinômios, especialmente pelos casos da diferença de dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e fator comum em evidência. No exemplo, a fração central apresenta um denominador que pode ser fatorado pela diferença de dois quadrados. Os outros dois não podem ser fatorados.
Dessa maneira, trocando o denominador da fração central por sua forma fatorada teremos:
1 + x + 4x2 – 1 – x
1 – x (1 – x)(1 + x) 1 + x
Assim, o mínimo múltiplo comum entre os denominadores será (1 – x)(1 + x). Para saber como realizar esse cálculo, clique aqui.
Etapa 2: Encontrar frações equivalentes.
Com o MMC em mãos, divida-o pelo denominador de cada fração do exemplo e multiplique o resultado pelo respectivo numerador. Isso gerará as frações equivalentes com denominadores iguais – o próprio MMC –, que devem ser somadas/subtraídas. No exemplo, os resultados serão:
1 + x + 4x2 – 1 – x = (1 + x)2 + 4x2 – (1 – x)2
1 – x (1 – x)(1 + x) 1 + x (1 – x)(1 + x) (1 – x)(1 + x) (1 – x)(1 + x)
Observe que, dividindo o MMC por 1 – x, que é o denominador da primeira fração, o resultado será 1 + x. Multiplicando isso por 1 + x, que é o numerador da primeira fração, teremos o numerador da respectiva fração equivalente. Repete-se o processo para todas as frações até obter o resultado acima.
Etapa 3: Somar/subtrair os numeradores.
Encontradas as frações equivalentes, basta somar ou subtrair os numeradores e simplificar o resultado. Observe:
(1 + x)2 + 4x2 – (1 – x)2
(1 – x)(1 + x) (1 – x)(1 + x) (1 – x)(1 + x)
1 + 2x + x2 + 4x2 – (1 – 2x + x2)
(1 – x)(1 + x)
1 + 2x + x2 + 4x2 – 1 + 2x – x2
(1 – x)(1 + x)
4x + 4x2
(1 – x)(1 + x)
4x(1 + x)
(1 – x)(1 + x)
4x
(1 – x)
