O volume da pirâmide é dado pelo cálculo: um terço da área da sua base multiplicado por sua altura. Em outras palavras, um terço do volume do prisma de mesma base e altura.
O volume de um sólido geométrico é a medida de sua capacidade, geralmente dada em metro cúbico (m3) ou em unidade de medida mais apropriada que tenha o m3 como base.
Geralmente, o volume é obtido por meio de uma fórmula matemática, como é o caso da pirâmide. A fórmula usada para calcular o volume da pirâmide é: um terço do produto da área da sua base por sua altura. Algebricamente, essa fórmula é expressa da seguinte maneira:
A base de uma pirâmide é um polígono qualquer e seus lados são todos triangulares. No geral, os exercícios sobre volume da pirâmide envolvem pirâmides de base quadrada, triangular ou algum polígono regular. Para compreender melhor a definição de pirâmide clique aqui. Para aprender a calcular a área do polígono regular, clique aqui.
A área da base da pirâmide é, portanto, igual à área de um polígono, e a fórmula usada para calculá-la depende desse polígono. Assim, as pirâmides são classificadas de acordo com o formato de sua base.
Acompanhe abaixo uma questão que envolvem volume da pirâmide e usar a fórmula apresentada acima.
Exercício 1
Determine o volume de uma pirâmide de base quadrada cuja aresta da base mede 10 cm e a altura da pirâmide mede 9 cm.
Primeiramente, calcule a área da base da pirâmide. Como a base é quadrada, basta fazer:
Posteriormente, calcule o volume da pirâmide, usando a fórmula específica para isso:
Portanto, o volume da pirâmide é de 300 cm³.
Relação entre volume da pirâmide e volume do prisma
Há uma relação entre os volumes da pirâmide e do prisma, desde que essas figuras tenham as mesmas medidas de base e de altura. Dizemos que o volume da pirâmide é igual a um terço do volume do prisma:
3Vpirâmide = Vprisma
O volume do prisma é igual à área de sua base (Ab) multiplicada pela altura (h) desse sólido geométrico. Matematicamente:
Vprisma = Ab·h
Abaixo, resolveremos uma questão em que serão empregados cálculos do volume do prisma para encontrar o volume da pirâmide.
Exercício 2
Uma pirâmide está inscrita em um prisma de base quadrada. Sabendo que a área da base do prisma mede 24 cm2 e o volume desse mesmo sólido é de 240 cm3, calcule o volume da pirâmide.
Uma pirâmide inscrita em um prisma compartilha com ele área da base e a altura. Logo, o volume da pirâmide será igual à terça parte do volume do prisma (ou o volume do prisma será igual a 3 vezes o volume da pirâmide). Dito isso, basta fazer:
Portanto, o volume da pirâmide é de 80 cm3.
Exercício sobre volume da pirâmide no Enem
(Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
a) 156 cm3
b) 189 cm3
c) 192 cm3
d) 216 cm3
e) 540 cm3
Para resolver esse problema, teremos que subtrair o volume da pirâmide superior do volume total da vela. Como a vela possui 19 cm de altura e três espaços de 1 cm nessa altura, podemos concluir que a parte que possui parafina, sem espaços, tem 19 – 3 = 16 cm de altura. Como as quatro partes da vela possuem mesma altura, a parte superior da vela terá 16 : 4 = 4 cm de altura.
Note também que a base da pirâmide superior é quadrada, e o lado desse quadrado mede 1,5 cm. Substituindo esses valores na fórmula do volume da pirâmide para obter o volume da pirâmide superior, teremos:
Já o volume total da vela, considerando que sua base tem 6 cm de aresta e que ela possui 16 cm de altura, será:
O volume das três partes restantes da pirâmide equivale à quantidade de parafina que o fabricante passará a gastar. Logo, para calcular esse volume basta subtrair o volume da parte superior do volume total da vela:
192 – 3 = 189 cm3
Gabarito: Alternativa B