O volume da esfera, que é calculado por uma fórmula que depende da medida do raio, é igual a quatro terços do produto de π pelo cubo da medida do raio da esfera.
O volume da esfera é calculado pelo produto entre quatro terço de π vezes o cubo da medida do raio da esfera. Sendo assim, para calculá-lo, é necessário conhecer a medida do raio da esfera.
A esfera é um sólido geométrico, e os seus principais elementos são o raio, o centro, o diâmetro e a superfície. Já as regiões mais importantes desse sólido são a calota esférica, o fuso esférico e a cunha esférica.
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Resumo sobre o volume da esfera
- A esfera é um sólido geométrico que se assemelha a uma bola perfeita, em que todos os pontos da superfície estão à mesma distância de um ponto central, chamado centro.
- Os elementos da esfera são o centro, o raio, o diâmetro e a superfície.
- O volume da esfera é uma medida que quantifica o espaço ocupado por essa figura geométrica.
- A fórmula para calcular o volume da esfera é \( V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
- Para calcular o volume, substituímos o valor de r pelo comprimento do raio e, quando necessário, o valor de π por uma aproximação.
- A esfera possui regiões importantes, como a calota esférica, a cunha esférica e o fuso esférico.
Videoaula sobre o volume da esfera
O que é uma esfera?
A esfera é uma figura geométrica tridimensional em que todos os pontos de sua superfície estão igualmente distantes de um ponto central, denominado centro da esfera. De modo geral, a esfera é o sólido geométrico formado por todos os pontos que estão a uma distância menor ou igual a r.
Elementos da esfera
A esfera tem algumas partes importantes e, para compreender o cálculo do seu volume, é fundamental conhecer esses elementos.
- Centro da esfera: o ponto equidistante de todos os pontos da superfície da esfera, o que significa que a distância do centro a qualquer ponto na superfície é sempre a mesma. O centro da esfera é conhecido também como origem da esfera.
- Diâmetro: a maior distância entre dois pontos em uma figura esférica, passando pelo seu centro. No contexto de uma esfera, o diâmetro é a reta que liga dois pontos opostos em sua superfície, atravessando o centro da esfera.
- Raio: a distância entre o centro de uma figura geométrica e qualquer ponto em sua superfície. Em outras palavras, o raio é a reta que liga o centro de um círculo ou de uma esfera a um ponto na sua borda.
- Superfície esférica: a coleção de todos os pontos que estão equidistantes de um ponto central, conhecido como o centro da esfera. Para exemplificar, em uma bola, a superfície da esfera é a parte que tocamos.
Fórmula do volume da esfera
A fórmula abaixo é para o cálculo do volume da esfera:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3} \)
- V: volume da esfera;
- R: é o raio da esfera;
- π: é uma constante.
Cálculo do volume da esfera
Para calcular o volume da esfera, basta conhecer a medida do seu raio e, caso necessário, substituir o valor da constante π pela aproximação desejada.
Exemplo 1:
Qual é o volume de uma esfera que possui raio medindo 4 cm?
Resolução:
Sabemos que R = 4, então:
\(V=\frac{4\pi\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot\pi\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{864\pi}{3}\)
\(V=288\pi\)
Exemplo 2:
Utilizando 3,1 como aproximação de π, qual é o volume de uma esfera que possui raio medindo 3 metros?
\(V=\frac{4⋅3,1⋅3^3}3\)
\(V=\frac{12,4\cdot27}{3}\)
\(V=12,4\ \cdot9\)
\(V=111,6\ m^3\)
Regiões da esfera
- Calota esférica: é o sólido geométrico formado quando dividimos a esfera por um plano.
Fuso esférico: é a parte da superfície de uma esfera para um determinado ângulo.
Cunha esférica: A cunha esférica é o sólido geométrico formado por parte de uma esfera para um determinado ângulo.
Outras fórmulas da esfera
- Raio: \(R=\frac{Diâmetro}2\)
- Área da superfície esférica: \(A=4\pi R^2\)
- Volume da cunha csférica: \(V_{cunha}=\frac{4\pi R^3}{3}\frac{\alpha}{360}\)
Vale dizer que α é o ângulo (em graus) de rotação do semicírculo.
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Exercícios resolvidos sobre esfera
Questão 1: Sabendo que o volume de uma esfera de raio X é 4 cm3, determine o volume de uma esfera de raio 2x.
A) 8cm3
B) 16cm3
C) 24cm3
D) 32cm3
E) 40cm3
Resolução:
Alternativa D.
Calculando o volume da esfera de raio x, temos que:
\(V=\frac{4\pi x^3}{3}\)
Calculando o volume da esfera de raio 2x, temos que:
\(V=\frac{4\pi{(2x)}^3}{3}=\frac{4\pi x^3}{3}⸳8\)
Dos resultados acima, concluímos que o volume da esfera de raio 2x é 8 vezes o volume da esfera de raio x. Logo, esse volume é \(V=8\cdot4=32{cm}^3\).
Questão 2: Se o diâmetro de uma esfera é 20 cm, determine o volume da esfera. Adote π=3 .
A) 1000cm3
B) 2000cm3
C) 3000cm3
D) 4000cm3
E) 5000cm3
Resolução:
Alternativa D.
O raio da esfera é a metade do diâmetro, logo o raio é 10 cm.
O volume da esfera é dado por \(V=\frac{4\pi R^3}{3}\).
Substituindo esse valor, temos \(V=\frac{4⸳3⸳10^3}3=4000cm^3\).
Fontes:
SILVA, João. Geometria Esférica: Fundamentos e Aplicações. São Paulo: Editora ABC, 2022.
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan. Geometria Analítica. São Paulo: Editora XYZ.