O tronco de pirâmide é a parte inferior da pirâmide resultante da secção a uma altura h com um plano paralelo à sua base.
Tronco de pirâmide é o sólido geométrico formado pela parte inferior de uma pirâmide quando realizada uma secção transversal nesse poliedro. Secção transversal é um corte paralelo à base de uma figura que a divide em dois novos sólidos. A parte superior forma uma nova pirâmide, menor do que a anterior, e a parte inferior forma o tronco de pirâmide. Os elementos do tronco de pirâmide são as suas bases maior e menor e a sua altura, fundamentais para o cálculo de seu volume e área total.
Veja também: Quais são os sólidos de Platão?
Resumo sobre tronco de pirâmide
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O tronco da pirâmide é a parte inferior da pirâmide obtida a partir da secção transversal da figura.
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Os principais elementos do tronco de pirâmide são a base maior, a base menor e a altura.
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A área total do tronco de pirâmide é igual à soma das áreas laterais com a área da base menor e a área da base maior.
A = AB + Ab + Al
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O volume do tronco de pirâmide é calculado pela fórmula:
\(V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_b+A_B+\sqrt{A_b\cdot A_B}\right)\)
O que é o tronco de pirâmide?
O tronco de pirâmide é o sólido geométrico da parte inferior da pirâmide obtido por meio da sua secção transversal, ou seja, um corte paralelo à base.
Quais são os elementos do tronco de pirâmide?
Os principais elementos do tronco de pirâmide são a base maior, a base menor e a altura. Veja, na imagem a seguir, como identificar cada um desses elementos.
Assim como a pirâmide, o tronco de pirâmide pode ter diversas bases. No exemplo acima há um tronco de pirâmide com base quadrada, porém existem diferentes tipos, com base:
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triangular;
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pentagonal;
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hexagonal.
Além desses, há ainda outros tipos.
As bases do tronco de pirâmide podem ser formadas por qualquer polígono. Sendo assim, para calcular a sua área, é necessário conhecimento sobre figuras planas (Geometria Plana), pois cada figura possui uma fórmula específica para o cálculo de sua área.
Saiba mais: Quais são os elementos do tronco de cone?
Como se calcula a área de um tronco de pirâmide?
Para calcular a área total do tronco de pirâmide, utiliza-se a fórmula a seguir:
AT = AB + Ab + Al
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AT → área total
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Ab → área da base menor
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AB → área da base maior
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Al → área lateral
Observe que a área é calculada por meio da soma da área da base menor com a área da base maior e a área lateral.
→ Exemplo de cálculo da área do tronco de pirâmide
Um tronco de pirâmide possui base maior formada por um triângulo retângulo com catetos medindo 20 cm e 15 cm e base menor com catetos iguais a 4 cm e 3 cm. Sabendo que a sua área lateral é composta por 3 trapézios, cujas áreas são 120 cm², 72 cm² e 96 cm², qual o valor da área total desse poliedro?
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Resolução:
Calculando a área das bases, que são triângulos:
\(A_b=\frac{4\cdot3}{2}=\frac{12}{2}=6\ cm²\)
\(A_B=\frac{20\cdot15}{2}=\frac{300}{2}=150\ cm²\)
Calculando a área lateral:
\(A_l=120+72+96=288cm^2\)
Assim, a área total do tronco de pirâmide é de:
\(288\ +\ 150\ +\ 6\ =\ 444\ cm²\)
→ Videoaula sobre área de tronco de pirâmide
Como se calcula o volume do tronco de pirâmide?
Para calcular o volume do tronco de pirâmide, utiliza-se a fórmula:
\(V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_b+A_B+\sqrt{A_b\cdot A_B}\right)\)
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V → volume
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h → altura
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Ab → área da base menor
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AB → área da base maior
→ Exemplo de cálculo do volume do tronco de pirâmide
Um tronco de pirâmide possui bases hexagonais. A área da base maior e a área da base menor são, respectivamente, 36 cm² e 16 cm². Sabendo que essa figura possui 18 cm de altura, qual o seu volume?
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Resolução:
Calculando o volume do tronco de pirâmide:
\(V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_b+A_B+\sqrt{A_b\cdot A_B}\right)\)
\(V=\frac{18}{3}\cdot\left(16+36+\sqrt{16\cdot36}\right)\)
\(V=6\ \cdot\left(16+36+4\cdot6\right)\)
\(V=6\ \cdot\left(16+36+24\right)\)
\(V=6\ \cdot\left(16+36+24\right)\)
\(V\ =\ 6\ \cdot76\)
\(V\ =\ 456\ cm³\)
→ Videoaula sobre volume de tronco de pirâmide
Exercícios resolvidos sobre tronco de pirâmide
Questão 1
Considerando que o tronco de pirâmide a seguir possui base quadrada, calcule a sua área total.
A) 224 cm³
B) 235 cm³
C) 240 cm³
D) 258 cm³
E) 448 cm³
Resolução:
Alternativa A
Calcularemos cada uma das suas áreas, começando pelas áreas da base maior e da base menor. Como elas são quadradas, temos que:
\(A_B=8^2=64\)
\(A_b=4^2=16\)
A área lateral é formada por 4 trapézios idênticos, com base maior medindo 8 cm, base menor medindo 4 cm e altura medindo 6 cm.
O valor da área lateral é:
\(A_l=4\cdot\frac{\left(B+b\right)h}{2}\)
\(A_l=4\frac{\left(8+4\right)\cdot6}{2}\)
\(A_l=4\cdot\frac{12\cdot6}{2}\)
\(A_l=\frac{4\cdot72}{2}\ \)
\(A_l=2\cdot72\)
\(A_l=144\)
Dessa forma, a área total do poliedro é igual a:
\(A_T=144+64+16\)
\(A_T=224\ cm^3\)
Questão 2
Analise o sólido geométrico a seguir.
Esse sólido geométrico é conhecido como:
A) prisma de base quadrada.
B) pirâmide de base quadrada.
C) trapézio de base quadrada.
D) tronco de pirâmide de base quadrada.
E) tronco de cone de base trapezoidal.
Resolução:
Alternativa D
Analisando esse sólido, é possível verificar que se trata de um tronco de pirâmide de base quadrada. Note que ele possui duas bases de tamanhos diferentes, uma característica dos troncos de pirâmide.