Chamamos de tronco de cone o sólido geométrico formado pela parte de baixo do cone quando fazemos uma secção paralela à base do cone. O tronco possui duas bases circulares.
O tronco de cone é obtido quando realizamos uma secção transversal do cone. Se cortarmos o cone com um plano paralelo ao da base do cone, o dividiremos em dois sólidos geométricos. Na parte superior, teremos um novo cone, porém, com altura e raio menores. Já na parte de baixo, teremos um tronco de cone, que possui duas bases circulares com raios diferentes.
Existem elementos importantes no tronco de cone que utilizamos para realização do cálculo de volume e área total, como a geratriz, raio da base maior, raio da base menor e altura. É a partir desses elementos que desenvolveu-se uma fórmula para o cálculo do volume e da área total do cone.
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Resumo sobre tronco de cone
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O tronco de cone é obtido na secção paralela ao plano da base do cone.
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A área total do tronco de cone é obtido pela soma das áreas da base com a área lateral.
AT = AB + Ab + Al
AT → área total
AB → área da base maior
Ab → área da base menor
Al → área lateral
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O volume do tronco de cone é calculado por:
Elementos do tronco de cone
Chamamos de tronco de cone o sólido geométrico obtido pela parte inferior do cone quando realizamos uma secção paralela ao plano de sua base. Obtém-se, assim, o tronco de cone, que possui:
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duas bases, ambas circulares, porém com raios diferentes, ou seja, uma base com circunferência maior, de raio R, e outra com circunferência menor, de raio r;
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geratriz do tronco de cone (g);
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altura do tronco de cone (h).
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R: comprimento do raio da base maior;
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h: comprimento da altura do cone;
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r: comprimento do raio da base menor;
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g: comprimento da geratriz do tronco de cone.
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Planificação do tronco de cone
Ao representar o tronco de cone de forma planificada, é possível identificar três áreas: as bases, que são formadas por dois círculos de raios distintos, e a área lateral.
Geratriz do tronco de cone
Para calcular a área total do tronco de cone, é necessário antes conhecer sua geratriz. Existe uma relação pitagórica entre o comprimento da altura, a diferença entre os comprimentos dos raios da base maior e da base menor e a própria geratriz. Então, quando o comprimento da geratriz não for um valor conhecido, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o seu comprimento.
Note o triângulo retângulo de catetos medindo h e R – r e de hipotenusa medindo g. Isto posto, obtém-se:
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g² = h² + (R – r)² |
Exemplo:
Qual é a geratriz do tronco de cone com raios medindo 18 cm e 13 cm e que possui 12 cm de altura?
Resolução:
Primeiramente, anotaremos as medidas importantes para o cálculo da geratriz:
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h = 12
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R = 18
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r = 13
Substituindo na fórmula:
g² = h² + (R – r)²
g² = 12² + (18 – 13)²
g² = 144 + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13 cm
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Como calcular a área total do tronco de cone?
A área total do tronco do cone é igual à soma das áreas da base maior e da base menor e a área lateral.
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AT = AB + Ab + Al |
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AT: área total;
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AB: área da base maior;
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Ab: área da base menor;
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AL: área lateral.
Para calcular cada uma das áreas, utilizamos as seguintes fórmulas:
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Al = πg (R + r)
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AB = πR²
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Ab = πr²
Portanto, a área total do tronco de cone é dada por:
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AT = πR² + πr² + πg (R + r) |
Exemplo:
Qual é a área total do tronco de cone que possui altura igual a 16 cm, raio da base maior igual a 26 cm e raio da base menor igual a 14 cm? (Use π = 3)
Resolução:
Calculando a geratriz:
g² = 16² + (26 – 14)²
g² = 16² + 12²
g² = 256 + 144
g² = 400
g = √400
g = 20
Encontrando a área lateral:
Al = πg (R + r)
Al = 3 · 20 (26 + 14)
Al = 60 · 40
Al = 2400 cm²
Agora, calcularemos a área de cada uma das bases:
AB = πR²
AB = 3 · 26²
AB = 3 · 676
AB = 2028 cm²
Ab = πr²
Ab = 3 · 14²
Ab = 3 · 196
Ab = 588 cm²
AT = AB + Ab + Al
AT = 2028 + 588 + 2400 = 5016 cm²
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Videoaula sobre a área do tronco de cone
Como calcular o volume de um tronco de cone?
Para calcular o volume do tronco de cone, utilizamos a fórmula:
Exemplo:
Qual é o volume do tronco de cone que possui altura igual a 10 cm, raio da base maior igual a 13 cm e raio da base menor igual a 8 cm? (Use π = 3)
Resolução:
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Videoaula sobre volume de tronco de cone
Exercícios resolvidos sobre tronco de cone
Questão 1
Uma caixa d’água possui formato de um tronco de cone, como na imagem a seguir:
Sabendo que ela possui raio maior de 4 metros e raio menor de 1 metro e que a altura total da caixa é de 2 metros, o volume de água contido nessa caixa d’água, quando preenchida até a metade de sua altura, é de: (use π = 3)
A) 3500 L.
B) 7000 L.
C) 10000 L.
D) 12000 L.
E) 14000 L.
Resolução:
Alternativa B
Como o raio maior está na metade da altura, sabemos que R = 2 m. Além disso, r = 1 m e h = 1 m. Dessa forma:
Para descobrir sua capacidade em litros, basta multiplicar o valor por 1000. Portanto, a metade da capacidade dessa caixa é de 7000 L.
Questão 2
(EsPCEx 2010) A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz.
A medida da altura desse tronco de cone é
A) 13 cm.
B) 12 cm.
C) 11 cm.
D) 10 cm.
E) 9 cm.
Resolução:
Alternativa B
Para calcular a altura, utilizaremos a fórmula da geratriz de um tronco de cone, que relaciona os seus raios à sua altura e à própria geratriz.
g² = h² + (R – r)²
Sabemos que:
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g = 13
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R = 11
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r = 6
Assim, calcula-se:
13² = h² + (11 – 6)²
169 = h² + 5²
169 = h² + 25
169 – 25 = h²
144 = h²
h = √144
h = 12 cm