Triângulos

Chamamos de triângulo o polígono que possui três lados. Sendo o polígono com o menor número de lados, ele é o mais simples, porém com uma vasta aplicação no cotidiano. Os principais elementos de um triângulo são seus três lados e três ângulos.

Podemos classificar os triângulos analisando os seus lados (equilátero, isósceles e escaleno) ou de acordo com os seus ângulos (retângulo, acutângulo ou obtusângulo). Em um triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.

Para calcular o perímetro desse polígono, basta somar os seus lados. Já para obter o valor da área, calculamos o produto entre os comprimentos da base e da altura e dividimos o resultado por dois. Quando existem três segmentos, há uma condição para que eles formem um triângulo, conhecida como condição de existência de um triângulo.

Leia também: Quadrados — quadriláteros cujos lados e ângulos são congruentes

Resumo sobre triângulos

• O triângulo é um polígono.

• O triângulo possui três lados e três ângulos.

• A soma dos seus ângulos internos é igual a 180°.

• Quando analisamos os ângulos de um triângulo, podemos classificá-los como:

  • Retângulo: possui um ângulo interno de 90°;

  • Acutângulo: possui os ângulos internos agudos;

  • Obtusângulo: possui um ângulo interno obtuso.

• Quando analisamos os lados de triângulos, existem três classificações possíveis:

  • Equilátero: possui todos os lados congruentes;

  • Isósceles: possui dois lados congruentes;

  • Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

• A condição de existência para um triângulo é que a soma do comprimento de dois lados é sempre maior que o terceiro lado.

• Como nos demais polígonos, o perímetro de um triângulo é igual à soma dos seus três lados.

• Para calcular a área do triângulo, utilizamos a fórmula:

Elementos de um triângulo

Para que uma figura geométrica seja conhecida como triângulo, é necessário que ela seja um polígono que possui exatamente três lados e três ângulos.

• Os segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo;

• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo;

• Os ângulos α, β e ɣ são os ângulos internos do triângulo.

Condição de existência de triângulos

Três segmentos de reta podem ou não formar um triângulo. Para saber se é possível formar um triângulo conhecendo o comprimento desses três segmentos, é necessário verificar se a condição de existência do triângulo é atendida. Essa condição estabelece que a soma de dois lados é sempre menor que o terceiro lado.

Em um triângulo com lados medindo a, b e c, segundo a condição de existência, temos que:

a + b > c

b + c > a

a + c > b

Portanto, para verificar se é possível construir um triângulo conhecendo as medidas de seus segmentos, elas devem satisfazer a condição de existência.

• Videoaula sobre condição de existência de triângulos

Propriedades do triângulo

Existem propriedades específicas para qualquer triângulo.

• Dado um triângulo de ângulos internos α, β e ɣ, a soma desses ângulos é sempre igual a 180°, ou seja:

α + β + ɣ = 180°

• Em um triângulo, o maior lado fica sempre oposto ao maior ângulo e o menor lado fica sempre oposto ao menor ângulo.

Classificação dos triângulos

Existem duas maneiras distintas de se classificar os triângulos. Uma delas é a classificação quanto aos ângulos e a outra é quanto a seus lados.

• Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Quando analisamos seus ângulos, pode-se classificar um triângulo em três tipos diferentes:

• triângulo acutângulo;

• triângulo retângulo;

• triângulo obtusângulo.

  • Triângulo acutângulo

Um triângulo é acutângulo quando todos os seus ângulos internos são agudos, ou seja, menores que 90°.

• Triângulo retângulo

Um triângulo é retângulo quando ele possui um ângulo interno reto, ou seja, igual a 90°.

• Triângulo obtusângulo

Um triângulo é obtusângulo quando ele possui um ângulo interno obtuso, ou seja, maior que 90°.

• Classificação dos triângulos quanto aos lados

Outra maneira de classificar os triângulos é fazendo a comparação entre as medidas dos seus lados. Nesse caso, também há três tipos de triângulos, sendo eles:

• triângulo equilátero;

• triângulo isósceles;

• triângulo escaleno.

  • Triângulo equilátero

Um triângulo é equilátero quando ele possui os três lados congruentes, ou seja, todos os lados possuem a mesma medida.

• Triângulo isósceles

Um triângulo é isósceles quando ele possui dois lados congruentes.

• Triângulo escaleno

Um triângulo é escaleno quando ele possui todos os lados com medidas distintas.

Perímetro de triângulo

O perímetro é o comprimento do contorno de um polígono. Para saber o comprimento total do contorno de qualquer polígono, incluindo o triângulo, basta realizar a soma de todos os seus lados.

Exemplo:

Dado o triângulo a seguir, calcule o seu perímetro:

Resolução:

P = 8 + 5 + 11 = 24 cm

Leia também: Propriedades do triângulo isósceles e do equilátero

Altura do triângulo

A altura é o segmento entre o vértice oposto a um lado e esse lado, formando um ângulo de 90° com a base do triângulo. Como qualquer um dos três lados do triângulo pode ser tratado como base, é possível traçar três alturas no triângulo, cada uma partindo de um vértice.

Área do triângulo

Para calcular a área de um triângulo, é necessário conhecer o comprimento da sua base e da altura relativa a essa base. Sendo b o comprimento da base e h o comprimento da altura, a área do triângulo é calculada por:

Exemplo:

Encontre a área de um triângulo que possui base medindo 18 cm e altura igual a 12 cm.

Resolução:

Leia também: Casos de congruência de triângulos

Exercícios resolvidos sobre triângulos

Questão 1

Ao fazer pesquisas sobre desmatamento, o Inpe constatou que uma área de 10.476 km² foi desmatada. Para fazer a representação dessa área geometricamente, o melhor polígono a ser escolhido foi um triângulo, que possui base igual a 216 km. Portanto, a altura desse triângulo deve ser de:

A) 85 km.
B) 97 km.
C) 100 km.
D) 112 km.
E) 125 km.

Resolução:

Alternativa B

Considerando a área do terreno, temos que:

Questão 2

Sobre o triângulo, julgue as afirmativas a seguir:

I → Todo triângulo retângulo é escaleno.

II → Todo triângulo equilátero é acutângulo.

III → Um triângulo isósceles pode ser obtusângulo.

Estão corretas:

A) Somente a afirmativa I.

B) Somente a afirmativa II.

C) Somente a afirmativa III.

D) Somente as afirmativas I e II.

E) Somente as afirmativas II e III.

Resolução:

Alternativa E

I → (Falsa)

O triângulo retângulo pode ser escaleno ou isósceles. Logo, nem todo triângulo retângulo é escaleno.

II → (Verdadeira)

O triângulo equilátero possui ângulos internos congruentes (180 : 3 = 60°). Como cada um deles mede 60°, todos os ângulos são agudos. Assim, o triângulo equilátero será sempre acutângulo.

III → (Verdadeira)

O triângulo isósceles possui dois lados congruentes. Dessa forma, dois de seus ângulos são congruentes também, o que torna possível que exista um triângulo isósceles que seja obtusângulo.