Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é bastante antigo e recebeu outros nomes ao longo da história, como triângulo de Tartaglia ou triângulo aritmético. Essa organização dos números como triângulos foi feita por vários matemáticos no decorrer do tempo. O matemático Blaise Pascal fez grandes contribuições para o estudo dessa ferramenta, desenvolvendo suas propriedades.

Ele é construído a partir de um método prático que tem relação com o cálculo de combinações, objeto de estudo da análise combinatória. Por essa razão, os termos de um binômio de Newton correspondem às linhas do triângulo de Pascal, logo esse triângulo é um facilitador para encontrar esses termos.

Construção do triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é dividido por linhas e colunas, começando da linha 0 e coluna 0. Os termos de cada linha são formados por combinações. Por exemplo, o primeiro termo que está na linha zero e coluna zero nada mais é do que a combinação de 0 elementos tomados de 0 em 0. Usando essa mesma construção, o termo que ocupa a quarta linha e terceira coluna, por exemplo, nada mais é do que a combinação de 4 elementos tomados de 3 em 3.

Veja uma representação das combinações até a linha 5, mas podemos construir quantas linhas forem necessárias para o triângulo.

As combinações são calculadas pela fórmula:

Sendo n a linha do triângulo e p a coluna.

Porém, neste momento, a ideia é construir esse triângulo sem que seja necessária a realização da conta de cada uma das combinações, logo utilizaremos o método prático para encontrar os valores de cada termo. Com isso, é possível fazer a correspondência do valor da combinação com o valor encontrado no triângulo.

Para construir o triângulo, primeiro vamos lembrar que a combinação de um número n tomado zero a zero ou a combinação de um número n tomado de n em n é sempre igual a 1, o que significa que todas as linhas a partir da linha 1 começam com 1 e terminam com 1. A combinação de 0 tomado de 0 em 0 também é igual a 1.

Agora, para encontrar os demais termos, começaremos pelas primeiras linhas. Na linha 0 e 1, já encontramos todos os termos; na linha 2 há a combinação de 2 tomados de 1 em 1. Para encontrar o valor dessa combinação, vamos somar o termo acima dele na mesma coluna e o termo acima dele na coluna anterior. Veja:

Encontrando o termo da linha 2, repetiremos o processo para achar os termos da linha 3. A combinação de 3 tomados de 1 em 1 é igual à soma de 2 + 1 = 3, e a combinação de 3 tomados de 2 em 2 é igual a 1 + 2 = 3 também.

Repetindo esse processo, vamos encontrar os termos da linha 4 e linha 5, encontrando o triângulo de Pascal até a quinta linha, mas ressalto que é possível fazer quantas linhas forem necessárias.

Leia também: Como calcular uma combinação?

Propriedades do triângulo de Pascal

Existem algumas relações entre as linhas e as colunas que são conhecidas como propriedades do triângulo de Pascal.

→ 1ª Propriedade: relação de Stifel

Essa propriedade é conhecida como relação de Stifel e foi a propriedade que utilizamos para construir os demais termos do triângulo.

→ 2ª propriedade: simetria

Note que existe uma simetria entre os termos do triângulo de Pascal. Termos que estão equidistantes da extremidade possuem o mesmo valor. Veja o exemplo da quinta linha:

→ 3ª propriedade: soma dos termos da linha n

S_n=2ⁿ (n é a linha)

Exemplos:

Para calcular a soma de todos os termos de uma linha, basta calcular uma potência de base 2 — no caso, o valor de 2 elevado ao número dessa linha, como a representação acima.

→ 3ª propriedade: soma de uma coluna

A soma dos termos de uma coluna qualquer p até uma linha qualquer n é igual ao termo que está na linha (n+1) posterior e coluna (p+1) posterior. Veja:

→ 4ª propriedade

A soma de uma diagonal começando sempre na coluna 0 e indo até o termo da coluna p e linha n é igual ao termo que está na mesma coluna (p), mas na linha abaixo (n+1), como mostrado a seguir:

Binômio de Newton

É conhecido como binômio de Newton qualquer potência de um binômio elevado a um número natural n. O desenvolvimento de um binômio sempre vai ser um polinômio dado pela fórmula:

Os coeficientes de cada um de todos os monômios são formados por combinações. Logo, para encontrar esses coeficientes, utilizamos o triângulo de Pascal. Seja a o primeiro termo e b o segundo termo, note que os expoentes de a são decrescentes, ou seja, começam em n e terminam em 0. Já os expoentes de b são crescentes, ou seja, começam em 0 e terminam em n.

Leia também: Polinômios — o que são e operações

Coeficiente binomial

Como o coeficiente do binômio é sempre uma combinação, calculamos pela fórmula da combinação:

Mas como conhecemos o triângulo de Pascal, não é necessário calcular cada uma das combinações, mas sim substituir os termos pelos valores encontrados no triângulo.

Exemplo:

(a+b)⁴

Para encontrar os coeficientes binomiais, precisamos dos termos da linha 4 do triângulo de Pascal, que são 1, 4, 6, 4 e 1, respectivamente. Então, basta substituir na fórmula do binômio:

(a+b)⁴= 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴

Nos termos que 1 aparece como coeficiente, não precisamos necessariamente escrever o número 1, já que ele é o elemento neutro da multiplicação, então podemos representá-lo desenvolvendo o binômio por:

(a+b)⁴= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Exercícios resolvidos

1) O triângulo de Pascal é um importante instrumento para cálculo de combinação. Utilizando as propriedades desse triângulo, podemos afirmar que o valor da expressão a seguir é:

a)15

b)16

c)17

d)18

e)20

Resolução:

Note que essa soma nada mais é do que a soma das linhas 0, 1, 2 e 3 do triângulo de Pascal. A soma de uma linha é calculada por 2^n. Sendo assim, para calcular a soma, faremos:

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

Alternativa A

2) Dado o binômio de Newton (x+3)⁶, a soma dos coeficientes de x⁵, x⁴ e x¹ será igual a?

a) 32

b) 60

c) 192

d) 264

e) 64

Resolução:

Ao desenvolver esse binômio, vamos recorrer à 6ª linha do triângulo.

Munidos da 6ª linha e utilizando a fórmula do binômio, temos que:

(x + 2) ⁶ = 1x⁶ + 6x⁵· 2 + 15x⁴ · 2² + 20x³·2³ + 15x²·2⁴ + 6x·2⁵ + 2⁶

Queremos os termos que acompanham x⁵, x⁴ e x:

6x⁵· 2 = 12x⁵ → 12

15x⁴ · 2² = 15x⁴ · 4 = 60x⁴ → 60

6x·2⁵ = 6x ·32 = 192x → 192.

12 + 60 + 192 = 264

Alternativa D.