Termo geral da PA é uma fórmula usada para encontrar o valor numérico de um termo de uma PA quando conhecemos razão, posição do termo e primeiro termo da PA.
O termo geral de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para encontrar o valor numérico de qualquer um dos termos dessa sequência quando o seu primeiro termo, sua razão e a posição do termo procurado são conhecidos. Essa fórmula é a expressão a seguir:
an = a1 + (n – 1)·r
Onde:
an é o termo cujo valor queremos descobrir;
a1 é o primeiro termo da PA;
n é a posição do termo an ,
r é a razão da PA.
Nas progressões aritméticas, não é necessário decorar todas as fórmulas quando o aluno compreende como elas foram encontradas. A seguir, mostraremos um exemplo de como encontrar o termo geral de uma PA e, depois, usaremos o mesmo método para encontrar a fórmula do germo geral da PA.
Veja também: Demonstração da fórmula da soma dos termos de uma PA
Definição de PA
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada elemento é igual à soma do seu sucessor com uma constante (exceto o primeiro termo, que não possui sucessor). Em outras palavras, a diferença entre dois termos consecutivos em uma PA é igual a uma constante, que será a mesma para qualquer diferença calculada em uma mesma PA.
Sabendo disso, é possível escrever os termos de uma PA em função de sua razão e de seu primeiro termo. Para tanto, basta notar que o segundo termo da PA é igual ao primeiro somado à razão. O terceiro termo é igual ao segundo somado a duas vezes a razão e assim por diante.
Por exemplo, dada a PA (2, 7, 12, 17, 22 …), cuja razão é 5, seus termos podem ser escritos da seguinte maneira:
a1 = 2 = 2 + 0·5
a2 = 7 = 2 + 1·5
a3 = 12 = 2 + 2·5
a4 = 17 = 2 + 3·5
a5 = 22 = 2 + 4·5
…
Observe que cada termo é formado por uma soma entre o primeiro termo e um produto entre a razão e um número natural. Esse número natural é igual ao índice do termo (n) menos uma unidade. Tendo isso em mente, podemos encontrar qualquer termo dessa PA, somando o primeiro termo com um produto entre um número natural n –1 e a razão. Por exemplo, para encontrar o décimo termo basta fazer:
a10 = 2 + (10 – 1)·5
a10 = 2 + 9·5
a10 = 2 + 45
a10 = 47
Leia também: Progressão geométrica
Fórmula do termo geral da PA
Para obter a fórmula do termo geral da PA, basta fazer o mesmo que foi feito no exemplo anterior e tentar descobrir o termo an. Portanto, dada a PA (a1, a2, a3, a4, a5, …)
a1 = a1 + 0·r
a2 = a1 + 1·r
a3 = a1 + 2·r
a4 = a1 + 3·r
a5 = a1 + 4·r
…
O termo geral dessa PA é dado por:
an = a1 + (n – 1)·r
Exemplo
Encontre o centésimo termo de uma PA cujo primeiro termo é 11 e a razão é 3.
Substituindo os valores na fórmula, teremos:
an = a1 + (n – 1)·r
a100 = 11 + (100 – 1)·3
a100 = 11 + 99·3
a100 = 11 + 297
a100 = 308
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: