Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau

No estudo de álgebra, lidamos muito com equações, tanto do 1° quanto do 2° grau. Em geral, uma equação do 2° grau pode ser escrita da seguinte forma:

ax² + bx + c = 0

Os coeficientes da equação do 2° grau são a, b e c. Essa equação recebe esse nome porque a incógnita x está elevada à segunda potência ou ao quadrado. Para resolvê-la, o método mais comum é a utilização da Fórmula de Bhaskara. Esta garante que o resultado de qualquer equação do 2° grau pode ser obtido através da fórmula:

x = – b ± √? , onde ? = b² – 4.a.c
2.a                       

Através dessa fórmula, obtemos duas raízes, uma delas é obtida utilizando o sinal positivo antes da raiz quadrada de delta e outra utilizando o sinal negativo. Podemos então representar as raízes da equação do 2° grau como x₁ e x₂ da seguinte forma:

x₁ = – b + √?
        2.a

x₂ = – b – √?
        2.a

Vamos tentar estabelecer relações entre a soma e produto dessas raízes. A primeira delas pode ser obtida pela soma. Teremos, então:

x₁ + x₂ = – b + √? + (– b – √?)
                         2.a            2.a          

x₁ + x₂ = – b + √? – b – √?
             2.a

Como as raízes quadradas de delta possuem sinais opostos, elas anular-se-ão, restando apenas:

x₁ + x₂ = – 2.b
              2.a

Simplificando a fração resultante por dois:

x₁ + x₂ = – b
              a

Portanto, para qualquer equação do 2° grau, se somarmos suas raízes, obteremos a razão – ^b/_a. Vejamos uma segunda relação que pode ser obtida pela multiplicação das raízes x₁ e x₂:

x₁ . x₂ = – b + √? . – b – √?
              2.a          2.a

x₁ . x₂ = (– b + √?).(– b – √?)
             4.a²

Aplicando a propriedade distributiva para fazer a multiplicação entre os parênteses, obtemos:

x₁ . x₂ = b² + b.√? – b.√? -- (√?)²
                   4.a²

Como os termos b.√? possuem sinais opostos, eles anulam-se. Também calculando (√?)² , temos que (√?)² = √?.√? = ?. Lembrando ainda que ? = b² – 4.a.c. Portanto:

x₁ . x_{2 =} b² – ?
             4.a²

x₁ . x₂ = b² – (b² – 4.a.c)
                4.a²

x₁ . x₂ = b² – b² + 4.a.c
               4.a²

x₁ . x₂ = 4.a.c
             4.a²

Considerando que a² = a.a, podemos simplificar a fração, dividindo o numerador e o denominador por 4.a, obtendo:

x₁ . x₂ =   c  
             a

Essa é a segunda relação que podemos estabelecer entre as raízes de uma equação do 2° grau. Ao multiplicar as raízes, encontramos a razão ^c/_a. Essas relações de soma e produto das raízes podem ser empregadas mesmo que estejamos trabalhando com uma equação do 2° grau incompleta.

Agora que conhecemos as relações que podem ser obtidas através da soma e produto das raízes de uma equação do 2° grau, vamos resolver dois exemplos:

1. Sem resolver a equação x² + 5x + 6 = 0, determine:

   a) A soma de suas raízes:

x₁ + x₂ = – b
               a

x₁ + x₂ = – 5
               1

x₁ + x₂ = – 5

b) O produto de suas raízes:

x₁ . x₂ =   c  
             a

x₁ . x₂ =    6   
            1

x₁ . x₂ = 6

2. Determine o valos de k para que a equação tenha duas raízes x² + (k – 1).x – 2 = 0, cuja soma seja igual a – 1.

   A soma de suas raízes é dada pela seguinte razão:

x₁ + x₂ = – b
              a

x₁ + x₂ = – (k – 1)
               1

Mas nós temos definido que a soma das raízes é – 1

– 1 = – (k – 1)
       1

– k + 1 = – 1
– k = – 1 – 1
(--1). – k = – 2 .(--1)
?k = 2

Portanto, para que a soma das raízes dessa equação seja – 1, o valor de k deve ser 2.