Soma e produto

Soma e produto é um método de resolução de equações polinomiais do 2° grau que relaciona os coeficientes da equação com a soma e o produto de suas raízes. A aplicação desse método consiste em tentar determinar quais são os valores das raízes que satisfazem certa igualdade entre expressões.

Mesmo se tratando de uma alternativa à fórmula de Bhaskara, esse método nem sempre pode ser utilizado, e, em algumas vezes, tentar encontrar os valores das raízes pode ser uma tarefa demorada e complexa, necessitando-se recorrer à tradicional fórmula de resolução de equações do 2° grau.

Leia também: Como resolver equações do segundo grau incompletas?

Resumo sobre soma e produto

• Soma e produto é um método alternativo para resolução de equações do 2° grau.

• A fórmula da soma é \(-\frac{a}b\), enquanto a fórmula do produto é \(\frac{c}a\).

• Esse método só pode ser utilizado se a equação possui raízes reais.

Fórmulas de soma e produto

Uma equação polinomial do segundo grau é representada da seguinte forma:

\(ax^2+bx+c=0\)

Em que o coeficiente \(a≠0\).

Resolver essa equação é o mesmo que encontrar quais são as raízes \(x_1\) e \(x_2\) que fazem a igualdade ser verdadeira. Assim, pela fórmula de Bhaskara, sabe-se que essas raízes podem ser expressas por:

\(x_1=\frac{-b + \sqrtΔ}{2a}\) e \(x_2=\frac{-b - \sqrtΔ}{2a}\)

Em que \(Δ=b^2-4ac\).

Portanto, as relações de soma e de produto são dadas por:

• Fórmula da soma

\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt∆}{2a}+\frac{-b-\sqrt∆}{2a}\)

\(x_1+x_2=-\frac{b}a\)

• Fórmula do produto

\(x_1 ⋅ x_2=\frac{-b+\sqrt∆}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt∆}{2a}\)

\(x_1⋅x_2=\frac{c}a\)

Cálculo das raízes usando soma e produto

Antes de aplicar esse método, é importante saber se de fato é possível e viável utilizá-lo, ou seja, é preciso saber se a equação a ser resolvida possui raízes reais ou não. Caso a equação não possua raízes reais, ele não pode ser utilizado.

Para descobrir essa informação, pode-se calcular o discriminante da equação, pois este determina quantas soluções reais a equação do 2° grau tem:

Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais diferentes.

Se Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Vejamos, a seguir, alguns exemplos de como aplicar o método de soma e produto.

• Exemplo 1: Utilizando o método da soma e produto, se possível, calcule as raízes da equação \(-3x^2+4x-2=0\).

Primeiramente, é recomendável analisar se essa equação possui raízes reais ou não.

Calculando seu discriminante, tem-se que:

\(b^2 -4ac=(4)^2-4⋅(-3)⋅(-2)\)

\(= 16-24=-9\)

Portanto, as raízes da equação são complexas e não é possível utilizar esse método para encontrar o valor delas.

• Exemplo 2: Usando o método de soma e produto, encontre as raízes da equação \(x^2+3x-4=0\).

Para saber se as raízes da equação são reais, calcula-se novamente seu discriminante:

\(b^2 -4ac =(3)^2-4⋅(1)⋅(-4)\)

\(=9+16=25\)

Assim, como o discriminante deu um valor maior que zero, pode-se afirmar que essa equação possui duas raízes reais distintas, e o método de soma e produto pode ser utilizado.

Pelas fórmulas deduzidas, sabe-se que as raízes \(x_1 \) e \(x_2\) cumprem as relações:

\(x_1+x_2=-\frac{3}1=-3\)

\(x_1⋅x_2=\frac{-4}1=-4\)

Portanto, a soma das duas raízes resulta em \(-3 \) e o produto delas resulta em \(-4 \).

Analisando o produto das raízes, percebe-se que uma delas é um número negativo e a outra é um número positivo, afinal, sua multiplicação resultou em um número negativo. Podemos então testar algumas possibilidades:

\(1⋅(-4)=-4\)

\(2⋅(-2)=-4\)

\((-1)⋅4=-4\)

Perceba que, das possibilidades levantadas, a primeira resulta na soma que se deseja obter, afinal:

\(1+(-4)=-3\).

Logo, as raízes dessa equação são \(x_1=1\) e \(x_2=-4\).

• Exemplo 3: Usando o método da soma e produto, encontre as raízes da equação \(-x^2+4x-4=0\).

Calculando o discriminante:

\(b^2 -4ac=(4)^2-4⋅(-1)⋅(-4)\)

\(=16-16=0\)

Conclui-se que essa equação possui duas raízes reais e iguais.

Assim, utilizando as relações de soma e produto, temos que:

\(x_1+x_2=-\frac{4}{(-1)}=4\)

\(x_1⋅x_2=\frac{-4}{-1}=4\)

Portanto, o número real que cumpre as condições acima é o 2, pois \(2+2=4\) e \(2⋅2=4\), sendo então \(x_1=x_2=2\) as raízes da equação.

• Exemplo 4: Encontre as raízes da equação \(6x^2+13x+6=0\).

Calculando o discriminante:

\(b^2-4ac=(13)^2 -4⋅(6)⋅(6)\)

\(=169-144=25\)

Conclui-se que essa equação possui duas raízes reais e diferentes.

Assim, utilizando as relações de soma e produto, temos que:

\(x_1+x_2=-\frac{13}6\)

\(x_1⋅x_2=\frac{6}6=1\)

Perceba que a fórmula da soma originou um resultado fracionário. Assim, encontrar o valor das raízes por esse método, mesmo sendo possível, pode se tornar algo demorado e trabalhoso.

Nesses casos, utilizar a fórmula de Bhaskara é uma estratégia melhor, e, assim, por meio de seu uso, pode-se encontrar as raízes da equação, que, nesse caso, são dadas por:

\(x_1=\frac{-b+ \sqrtΔ}{2a}=\frac{-13+ \sqrt{25}}{12}=-\frac{2}3\)

\(x_2=\frac{-b- \sqrtΔ}{2a}=\frac{-13- \sqrt{25}}{12}=-\frac{3}2\)

Leia também: Método de completar quadrados — outra alternativa à fórmula de Bhaskara

Exercícios resolvidos sobre soma e produto

Questão 1

Considere uma equação polinomial do 2° grau do tipo \(ax^2+bx+c=0\) (com \(a=-1\)) , cuja soma das raízes é igual a 6 e o produto das raízes é igual a 3. Qual das equações a seguir cumpre essas condições?

a) \(-x^2-12x-6=0\)

b) \(-x^2-12x+6=0\)

c) \(-x^2+6x-3=0\)

d) \(-x^2-6x+3=0\)

Resolução: letra C

O enunciado informa que a soma das raízes da equação é igual a 6 e o produto delas é igual a 3, ou seja:

\(x_1+x_2=-\frac{b}a=6\)

\(x_1⋅x_2=\frac{c}a=3\)

Sabendo disso, podemos isolar os coeficientes b  e c  em função do coeficiente a , isto é:

\(b=-6a\ ;\ c=3a\)

Por fim, como o coeficiente \(a=-1\), conclui-se que \(b=6\) e \(c=-3\).

Questão 2

Considere a equação \(x^2+18x-36=0\). Denotando por S a soma das raízes dessa equação e por P o produto delas, podemos afirmar que:

a) \(2P=S\)

b) \(-2P=S\)

c) \(P=2S\)

d) \(P=-2S\)

Resolução: letra C

Pelas fórmulas de soma e produto, sabemos que:

\(S=-\frac{b}a=-18\)

\(P=\frac{c}a=-36\)

Portanto, como \(-36=2\cdot (-18)\), segue que \(P=2S\).

Fontes:

LEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 6: complexos, polinômios, equações. 8. ed. São Paulo: Atual, 2013.

SAMPAIO, Fausto Arnaud. Trilhas da matemática, 9º ano: ensino fundamental, anos finais. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2018.