Sabemos que a soma dos termos de uma PG finita é dada pela fórmula:
Se considerarmos uma PG com a razão sendo um número entre -1 e 1, ou seja, – 1 < q < 1, a fórmula para a soma dos termos sofre uma variação, em virtude de a razão estar compreendida nesse intervalo. Acontece que para – 1 < q < 1, à medida que o número de elementos n aumenta indefinidamente (tende ao infinito), a expressão qn se aproxima muito de zero (tende a zero). Dessa forma, ao substituir qn por zero, a fórmula da soma fica:
Ou
Que pode ser reescrita como:
Que é a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita com – 1 < q < 1.
Vejamos alguns exemplos de aplicação da fórmula.
Exemplo 1. Dada a PG (1,1/2,1/4,1/8,1/16…), obtenha a soma de todos os seus termos.
Solução: Temos que:
a1 = 1
Segue que:
Exemplo 2. Resolva a equação:
Solução: Observe que o lado esquerdo da igualdade é a soma dos infinitos termos de uma PG de razão:
Para resolver a equação precisamos determinar qual a soma dos termos do lado esquerdo da igualdade. Para isso utilizaremos a fórmula da soma dos termos da PG infinita.
Assim, podemos reescrever o lado esquerdo da igualdade da seguinte forma:
Dessa forma, teremos:
x = 16
Portanto a solução da equação é x = 16.
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: