Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão recebem esse nome por terem sido objeto de estudo do matemático e filósofo grego Platão. Ele buscou explicar o Universo com base na geometria e se deparou com estes cinco poliedros:

• tetraedro;

• hexaedro;

• octaedro;

• dodecaedro;

• icosaedro.

Eles possuem como característica comum o fato de serem todos sólidos regulares, ou seja, possuem todas as faces formadas por polígonos congruentes. Para eles, também se aplica a relação de Euler (V + F = A + 2), uma fórmula que relaciona o número de vértices, de faces e de arestas.

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Resumo sobre sólidos de Platão

• Existem cinco sólidos de Platão, são eles:

  • tetraedro;

  • hexaedro;

  • octaedro;

  • dodecaedro;

  • icosaedro.

• Os sólidos de Platão são poliedros que satisfazem três condições:

  • são convexos;

  • todas as faces possuem o mesmo número de arestas;

  • os vértices são extremidades de uma mesma quantidade de arestas.

• A relação e Euler é válida nos sólidos de Platão.

Videoaula sobre sólidos de Platão

Poliedros regulares

Os poliedros podem ser regulares ou não. Para que um poliedro seja considerado regular, é necessário que ele possua todas as arestas congruentes e faces formadas por um mesmo polígono.

Sólidos como o hexaedro, conhecido também como cubo, que possui todas as suas seis faces formadas por quadrados e todos eles congruentes entre si, são exemplos de poliedros. Todos os sólidos de Platão são poliedros regulares, pois possuem sempre faces congruentes formadas por polígonos todos congruentes, como triângulos, quadrados ou faces pentagonais.

Os sólidos de Platão

O estudo dos sólidos geométricos teve a contribuição de vários matemáticos, entre eles, em particular, Platão, filósofo e matemático grego que buscou explicar o mundo a sua volta com base nos sólidos geométricos conhecidos como sólidos de Platão ou sólidos platônicos.

Os sólidos de Platão são cinco: o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro. Para ser um sólido de Platão, é necessário satisfazer três regras:

• Esse poliedro deve ser convexo.

• Deve possuir todas as faces com o mesmo número de arestas formadas por polígonos congruentes.

• Cada vértice deve ser extremidade de uma mesma quantidade de arestas.

Platão buscou associar cada um dos sólidos de Platão a elementos da natureza:

• tetraedro → fogo

• hexaedro → terra

• octaedro → ar

• icosaedro → água

• dodecaedro → Cosmo ou Universo

Vejamos, a seguir, as particularidades de cada um dos sólidos de Platão:

• Tetraedro regular

O tetraedro regular é um poliedro que recebe esse nome por possuir quatro faces, pois o prefixo tetra corresponde a quatro. As faces de um tetraedro regular são todas formadas por triângulos equiláteros.

O tetraedro possui o formato de pirâmide. Como suas faces são todas triangulares, ele é uma pirâmide de face triangular. O tetraedro regular possui quatro faces, quatro vértices e seis arestas.

• Hexaedro regular ou cubo

O hexaedro regular é um poliedro que recebe esse nome por possuir seis faces, pois o prefixo hexa corresponde a seis. As suas faces são formadas por quadrados. O hexaedro regular é conhecido também como cubo e ele possui seis faces, 12 arestas e oito vértices.

• Octaedro

O octaedro é também um poliedro, e recebe esse nome por possuir oito faces, pois o prefixo octa corresponde a oito. As suas faces são todas no formato de triângulos equiláteros. Ele possui oito faces, 12 arestas e seis vértices.

• Icosaedro

O icosaedro é um poliedro que possui 20 faces, o que justifica o seu nome, pois icosa faz referência a 20. As faces de um icosaedro possuem o formato de triângulo equilátero. O icosaedro possui 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.

• Dodecaedro

O dodecaedro é o sólido considerado o mais harmônico por Platão. Ele possui um total de 12 faces, o que justifica o seu nome, pois o prefixo dodeca corresponde a 12. Suas faces são formadas por pentágonos, e ele possui 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Fórmula de Euler

Os poliedros de Platão satisfazem a relação de Euler. Euler foi um matemático que também estudou os poliedros convexos e percebeu que existe uma relação entre o número de faces (F), o número de vértices (V) e o número de arestas (A) em um poliedro convexo.

Exemplo:

Sabemos que um hexaedro possui seis faces e 12 arestas, então, seu número de vértices é igual a:

Resolução:

Sabemos que:

V + F = A + 2

• F = 6

• A = 12

V + 6 = 12 + 2

V + 6 = 14

V = 14 – 6

V = 8

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Exercícios resolvidos sobre sólidos de Platão

Questão 1

(Contemax - adaptada) Os sólidos platônicos, ou poliedros regulares, são conhecidos desde a Antiguidade. O filósofo Platão os relacionou aos elementos clássicos: terra, fogo, água e ar.

O astrônomo Johannes Kepler, no século XVI, tentou associá-los aos seis planetas conhecidos até então. A relação entre vértices (V), faces (F) e arestas (A) dos sólidos platônicos pode ser verificada pela fórmula de Euler:

V + F – A = 2

Considere as seguintes afirmações sobre os poliedros regulares:

I- O octaedro possui 6 vértices, 12 arestas e 8 faces.

II- O dodecaedro possui 20 vértices, 30 arestas e 12 faces.

III- O icosaedro possui 12 vértices, 30 arestas e 20 faces.

A respeito das afirmações, é correto declarar que:

A) Apenas I e II são verdadeiras.

B) Apenas I e III são verdadeiras.

C) Apenas II e III são verdadeiras.

D) Todas são verdadeiras.

E) Nenhuma é verdadeira.

Resolução:

Alternativa D

V + F – A = 2

I. 6 + 8 – 12 = 2 (Verdadeiro)

II. 20 + 12 – 30 = 2 (Verdadeiro)

III. 12 + 20 – 30 = 2 (Verdadeiro)

Questão 2

(Enem 2016) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V – A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro respectivamente.

Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?

A) 2V – 4F = 4

B) 2V – 2F = 4

C) 2V – F = 4

D) 2V + F = 4

E) 2V + 5F = 4

Resolução:

Alternativa C

Como as faces são triangulares, sabemos que, para cada face, há 3 arestas. A aresta é o encontro de 2 faces, então, podemos relacionar as arestas com as faces da seguinte maneira:

Tendo a relação de Euler como V – A + F = 2, e substituindo A, temos que: