Simplificação de fração algébrica

Simplificação de fração algébrica é o nome dado ao processo de dividir fatores que se repetem no numerador e denominador. Como o resultado dessa divisão entre fatores iguais sempre resulta em 1 e esse número não influencia o resultado final da fração algébrica, podemos interpretar esse cálculo como um cancelamento de fatores comuns no numerador e denominador dessas frações.

Existem vários casos em que as frações algébricas podem ser simplificadas, entretanto, apenas dois já são suficientes para a compreensão da estratégia usada para todos eles.

1º caso

Quando só existem multiplicações no numerador e no denominador da fração algébrica, tudo que se deve fazer é: se existirem números conhecidos, simplificar a fração formada por eles e dividir as incógnitas (números desconhecidos representados por letras) por meio das propriedades de potência. Observe o exemplo:

14x²y⁴k³
21x³y²k³

Primeiramente, simplifique a fração 14/21 por 7 e obtenha 2/3. Depois disso, utilize a propriedade da divisão de potências para simplificar fatores que possuem mesma base, ou seja, x²:x³ = x^{2 – 3} = x ^{– 1}. Seguindo esse procedimento para as incógnitas y e k, teremos:

2x ^{– 1}y
3

Observe que, por meio das propriedades de potência, podemos escrever esse resultado da seguinte maneira:

2y
3x

A incógnita k não aparece no resultado porque k³:k³ = 1, que não influencia o resultado final.

2º Caso

Frações algébricas que apresentam somas ou subtrações entre os fatores precisam ser fatoradas antes de serem simplificadas. O processo de fatoração separa polinômios em fatores de uma multiplicação. Se houver fatores iguais a esses no numerador e no denominador, seguimos o mesmo procedimento feito acima. Para aprender a fatorar polinômios, clique aqui.

No exemplo a seguir, fatoraremos uma fração algébrica de três maneiras diferentes antes de simplificá-la. Os processos de fatoração usados são a fatoração por fator comum em evidência e fatoração do trinômio quadrado perfeito. Observe:

2(x² + 10x + 25)
2x² – 50

O numerador dessa fração algébrica possui dois fatores: 2 e (x² + 10x + 25). Esse segundo fator pode ser fatorado por meio do trinômio quadrado perfeito e reescrito como (x + 5)(x + 5). Já o denominador pode ser reescrito da seguinte maneira: 2x² – 2·25. Essa decomposição foi escolhida porque existe o coeficiente 2 em sua primeira parcela e a segunda também é múltipla de 2. Reescrevendo a fração algébrica com esses dois resultados, teremos:

2(x + 5)(x + 5)
2x² – 2·25

Agora, no denominador, coloque o número 2 em evidência e obtenha:

2(x + 5)(x + 5)
2(x² – 25)

Observe agora que o denominador é formado por 2 fatores: 2 e (x² – 25). Esse último é uma diferença de dois quadrados, que pode ser fatorada em (x – 5)(x + 5). Substituindo esse resultado na fração algébrica, teremos:

2(x + 5)(x + 5)
2(x – 5)(x + 5)

Agora observe que os fatores 2 e (x + 5) repetem-se no numerador e denominador. Sendo assim, podem ser simplificados. O resultado é:

x + 5
x – 5

Portanto, para simplificar uma fração algébrica, primeiramente devemos fatorar o que for possível no numerador e denominador. Feito isso, podemos simplificá-la, se for possível.