Raiz cúbica

A raiz cúbica é o caso particular da radiciação com índice 3. Para encontrar a raiz cúbica de um número x, devemos buscar um número y tal que \(y^3=x\). Se esse processo parecer difícil, podemos empregar a fatoração de x e as propriedades de radiciação como ferramentas, além de estratégias de aproximação e arredondamentos.

Leia também: Raiz quadrada — o caso mais comum de radiciação

Resumo sobre raiz cúbica

• A representação da raiz cúbica de x é \(\sqrt[3]{x}\).
• A raiz cúbica de x é igual a y se \(y^3=x.\)
• Podemos encontrar uma aproximação para uma raiz cúbica ao determinar intervalos nos quais ela se encontra.

Como é a representação da raiz cúbica de um número?

A representação da raiz cúbica de um número é composta por quatro elementos:

• o radicando, que é o número do qual buscamos a raiz;
• a raiz cúbica, que é a resposta procurada;
• o radical, que é o símbolo indicativo da operação de radiciação;
• o índice, que determina o expoente da raiz para resultar no radicando — como estamos considerando uma raiz cúbica, o índice é 3.

Assim, se a raiz cúbica de um número x é igual a um número y, devemos representar da seguinte forma:

\(\sqrt[3]{x}\ =\ y\)

Neste exemplo, x é o radicando, y é a raiz cúbica, \(\sqrt{▢}\)  é o radical e 3 é o índice.

Como calcular a raiz cúbica de um número?

Calcular a raiz cúbica de um número x significa procurar um número y tal que \(y^3=x\) . Dependendo do valor de x, pode ser vantajoso realizar a fatoração em números primos. Vejamos alguns exemplos.  

Exemplo 1: Qual a raiz cúbica de 64?

Determinar a raiz cúbica de 64 significa procurar um número y tal que \(y^3=64\). Vamos fazer alguns testes com números naturais:

\(1^3=1\ \cdot1\ \cdot1\ =\ 1\)

\(2^3=2\ \cdot2\ \cdot2\ =8\)

\(3^3=3\ \cdot3\ \cdot3\ =27\)

\(4^3=4\cdot4\cdot4=64\)

Portanto, \(\sqrt[3]{64}\ =\ 4\)

Exemplo 2: Qual a raiz cúbica de 2744?

Neste caso, como o radicando é um número maior, vamos utilizar sua representação fatorada.

\(2744=2^3\cdot7^3\)

Portanto, utilizando a propriedade de radiciação:

\(\sqrt[3]{2744}\ =\ \sqrt[3]{2^3\cdot7^3}\ =\ \sqrt[3]{2^3}\ \cdot\sqrt[3]{7^3}\ =\ 2\ \cdot7\ =\ 14\)

Observações:

• Quando a raiz cúbica é um número inteiro, como nos exemplos anteriores, dizemos que o radicando é um cubo perfeito. Outros exemplos de cubos perfeitos são os números 8 (pois 2³ = 8,  e 2 é inteiro), 27 (pois 3³ = 27,  e 3 é inteiro) e 125 (pois 5³ = 125,  e 5 é inteiro).
• Quando a raiz cúbica é um número racional, dizemos que é uma raiz exata.

Como se calcula a raiz cúbica por aproximação?

Nas situações em que for muito complicado ou mesmo impossível determinar um valor exato para a raiz cúbica, podemos utilizar aproximações. Para isso, delimitamos um intervalo no qual a raiz está contida. As extremidades do intervalo devem ser raízes cúbicas cujo valor seja conhecido.

Observação: esse método se baseia no fato de que, quanto maior o radicando, maior o valor da raiz cúbica. Ou seja, se a < b  então \(\sqrt[3]{a}\ <\ \sqrt[3]{b}\).

A princípio pode parecer um processo complicado, mas vejamos como isso funciona na prática.

Exemplo: Qual a raiz cúbica de 10? (Utilize uma aproximação com 1 casa decimal.)

Perceba que a raiz cúbica de 10 está entre a raiz cúbica de 8 e a raiz cúbica de 27, que são valores conhecidos:

\(\sqrt[3]{8}\ <\sqrt[3]{10}<\sqrt[3]{27}\)

\(2\ <\sqrt[3]{10}<3\)

Assim, a raiz cúbica de 10 é um número entre 2 e 3. Lembre-se de que \(\sqrt[3]{10}\) é um número y tal que \(y^3=10\). Portanto, vamos calcular algumas possibilidades:

\({2,1}^3=9,261\)

\({2,2}^3=10,648\)

\({2,3}^3=12,167\)

Observe que 2,1 e 2,2 são aproximações para a raiz quadrada de 10. Como 2,1³  resulta em um número um pouco abaixo de 10, dizemos que é uma aproximação por falta; já 2,1³  é uma aproximação por excesso, pois resulta em um número um pouco acima de 10.

Assim, \(\sqrt[3]{10}\ \approx2,1\) ou \(\sqrt[3]{10}\ \approx2,2\).

Leia também: Como calcular uma raiz quadrada aproximada?

Exercícios resolvidos sobre raiz cúbica

Questão 1

A raiz cúbica de 3375 é

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

Resolução

Aplicando a fatoração do radicando 3375 e utilizando a propriedade de radiciação:

\(\sqrt[3]{3375}\ =\ \sqrt[3]{3^3\cdot5^3}\ =\ \sqrt[3]{3^3}\ \cdot\sqrt[3]{5^3}\ =\ 3\ \cdot5\ =\ 15\)

Alternativa E.

Questão 2

O valor aproximado de \(\sqrt[3]{80}\) é

a)4,1

b) 4,3

c) 4,7

d) 5,2

e) 5,6

Resolução

Observe que

\(\sqrt[3]{64}\ <\sqrt[3]{80}<\sqrt[3]{125}\)

\(4\ <\sqrt[3]{80}<5\)

Assim, podemos verificar algumas possibilidades:

\({4,1}^3=68,921\)

\({4,2}^3=74,088\)

\({4,3}^3=79,507\)

\({4,4}^3=85,184\)

\({4,5}^3=91,125\)

Perceba que, se continuarmos o processo, vamos nos afastar cada vez mais do radicando.

Assim, das alternativas apresentadas, o valor que mais se aproxima de \(\sqrt[3]{80}\) é 4,3.

Alternativa B.