Racionalização de denominadores

Sabendo que o resultado de uma raiz não exata é um número irracional, você conseguiria responder rapidamente qual é o resultado aproximado de  Difícil, não é mesmo?! Vamos aos poucos: através da calculadora, podemos ver que a raiz quadrada de 3 vale aproximadamente 1,7320508075... Dividindo 1 por esse valor, temos 0,5773502691... como resultado aproximado. Sem a calculadora, essa divisão seria quase impossível de ser realizada, pois demanda muito trabalho!

Sempre que nos depararmos com uma fração cujo denominador é um radical, é necessário realizar um processo chamado de racionalização de denominadores. Essa racionalização consiste em transformar a fração em outra equivalente que não possua raiz no denominador.

Para isso, considere a fração utilizada no exemplo inicial:. O que podemos fazer com uma raiz para que seu radical “suma”? Basta elevá-la ao quadrado — operação garantida pela 1ª Propriedade da Radiciação. Mas elevar ao quadrado é o mesmo que multiplicar por si mesmo, logo, basta multiplicar a raiz quadrada por ela mesma! Todavia, se não queremos alterar o valor da fração, precisamos nos lembrar de multiplicar tanto o denominador quanto o numerador. Vamos ver esse processo na prática:

O resultado encontrado é bem melhor do que 0,5773502691..., não é mesmo? Vejamos outros exemplos da racionalização de frações cujo denominador apresenta uma raiz quadrada:

Observe que não há nenhum problema se a raiz quadrada estiver no numerador da fração, e isso vale para raízes de quaisquer índices.

E se a fração apresentar uma raiz com índice maior do que 2 no denominador? Vamos ver se é suficiente multiplicar a fração por ela mesma como fizemos anteriormente:

Apenas esse procedimento não é suficiente para cancelar o radical. Quando a raiz possuir um índice n maior do que 2, ela deve ser multiplicada por uma raiz cujo radicando possua expoente n – 1. Vejamos alguns exemplos:

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: