Propriedades operatórias dos logaritmos

As propriedades operatórias dos logaritmos são ferramentas utilizadas para a resolução de problemas. Ao aplicar essas propriedades, podemos simplificar operações envolvendo logaritmos. São três as propriedades operatórias dos logaritmos:

• logaritmo do produto;
• logaritmo do quociente;
• logaritmo da potência.

Leia também: Equação logarítmica — a equação que apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando

Resumo sobre as propriedades operatórias dos logaritmos

• As principais propriedades operatórias dos logaritmos são conhecidas como a propriedade do produto, do quociente e da potência.
• A propriedade logaritmo do produto pode ser representada da seguinte forma:

\(log_a\left(x\cdot y\right)=log_ax+log_ay\)

• A propriedade logaritmo do quociente pode ser representada da seguinte forma:

\(log_a\left(\frac{x}{y}\right)=log_ax\ -\ log_ay\)

• A propriedade logaritmo da potência pode ser representada da seguinte forma:

\(log_a{\ x}^p\ =p\ \cdot log_a\ x\)

• Existem outras duas importantes propriedades dos logaritmos: mudança de base e igualdade entre logaritmos de mesma base.
• Um logaritmo de base b pode ser representado por um quociente de logaritmos de base a. Esse processo é chamado de mudança de base e pode ser representando da seguinte forma:

\(log_bx=\frac{log_ax}{log_ab}\)

• Se dois logaritmos de mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

\(log_ax=log_ay\ \Rightarrow x\ =\ y\)

Quais são as propriedades operatórias dos logaritmos?

As propriedades operatórias dos logaritmos são as propriedades dos logaritmos que transformam uma operação em outra. A seguir, vamos conhecer cada uma delas. Em todos os casos, considere que a>0 e a ≠1, b>0, x>0 e y>0.

→ Logaritmo do produto

Em qualquer base a, o logaritmo do produto x⋅y é igual à soma entre o logaritmo de x e o logaritmo de y.

\(log_a\left(x\cdot y\right)=log_ax+log_ay\)

• Exemplo:

Calcule o valor aproximado de \(log_{10}\left(40\right)\), sabendo que \(log_{10}\left(4\right)\approx0,6\).

Resolução:

Perceba que podemos escrever 40 como 4 ⋅10. Assim,

\(log_{10}\left(40\right)=log_{10}\left(4\cdot10\right)\)

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto e substituindo o dado \(log_2\left(5\right)\approx2,32\), temos que

\(log_{10}\left(40\right)=log_{10}4\ +\ log_{10}10\)

\(log_{10}\left(40\right)\approx0,6\ +\ 1\)

\(log_{10}\left(40\right)\approx1,6\)

→ Logaritmo do quociente

Em qualquer base a, o logaritmo do quociente \(\frac{x}{y}\) é igual à diferença entre o logaritmo de x e o logaritmo de y.

\(log_a\left(\frac{x}{y}\right)=log_ax\ -\ log_ay\)

• Exemplo:

Se \(log_2\left(5\right)\approx2,32\), qual o valor aproximado de \(log_21,6\)?

Resolução:

Note que \(1,6=\frac{8}{5}\). Assim,

\(log_21,6\ =\ log_2\left(\frac{8}{5}\right)\)

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente e substituindo a informação \(log_2\left(5\right)\approx2,32\), temos que

\(log_21,6\ =\ log_28\ -\ log_25\)

\(log_21,6\ \approx3\ -\ 2,32\)

\(log_21,6\ \approx0,68\)

→ Logaritmo da potência

Em qualquer base a, o logaritmo da potência x^p é igual ao produto entre p e o logaritmo de x.

\(log_a{\ x}^p\ =p\ \cdot log_a\ x\)

• Exemplo:

Calcule uma estimativa para \(log_564\), sabendo que \(log_54\ \approx0,86\).

Resolução:

Observe que 64=4³. Assim,

\(log_564=log_5\ 4^3\)

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência e substituindo o dado \(log_5\ 4\approx0,86\), temos que

\(log_564=\ 3\cdot log_5\ 4\)

\(log_564\approx3\ \cdot0,86\)

\(log_564\ \approx2,58\)

Outras importantes propriedades dos logaritmos

São cinco as propriedades dos logaritmos. Como vimos, as propriedades operatórias dos logaritmos são: logaritmo do produto, logaritmo do quociente e logaritmo da potência. Além dessas, existem outras duas importantes propriedades: mudança de base e igualdade entre logaritmos de mesma base. Entenda cada uma delas a seguir. Em todos os casos, considere que a>0 e a ≠1, b>0, x>0 e y>0.

→ Mudança de base

Considere que gostaríamos que alterar a base b de determinado logaritmo para uma base a mais conveniente. O logaritmo de x na base b é igual ao quociente entre o logaritmo de x na base a e o logaritmo de b na base a.

\(log_bx=\frac{log_ax}{log_ab}\)

• Exemplo:

Qual o valor de \(log_927\)?

Resolução:

Note que tanto a base 9 como o logaritmando 27 são potências de 3, pois 9=3² e 27=3³. Assim, é mais conveniente aplicar a mudança de base para resolver esse problema.

\(log_927=\frac{log_327}{log_39}\)

\(log_927=\frac{3}{2}\)

→ Igualdade entre logaritmos de mesma base

Se dois logaritmos de mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

\(log_ax=log_ay\ \Rightarrow x\ =\ y\)

• Exemplo:

Se \(log_23=log_2k\), então quanto vale k?

Resolução:

Pela propriedade da igualdade entre logaritmos de mesma base, temos que k = 3.

Veja também: Função logarítmica — a função que possui em sua lei de formação o logaritmo de uma variável

Exercícios resolvidos sobre as propriedades operatórias dos logaritmos

Questão 1

(Enem) A lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por

\(f=\frac{A}{r^B}\)

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.

Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B. No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é

A) \( Y=log\left(A\right)–B⋅X\)

B) \( Y=\frac{log\left(A\right)}{X+log\left(B\right)}\)

C) \( Y=\frac{log\left(A\right)}{B}-X\)

D) \( Y=\frac{log\left(A\right)}{B\cdot X}\)

E) \( Y=\frac{log\left(A\right)}{X^B}\)

Resolução:

Alternativa A.

Aplicando logaritmo (na base 10) nos dois lados da expressão, temos

\(log\left(f\right)=log\left(\frac{A}{r^B}\right)\)

Pela propriedade do logaritmo do quociente,

\(log\left(f\right)=log\left(A\right)-log\left(r^B\right)\)

Pela propriedade do logaritmo da potência,

\(log\left(f\right)=log\left(A\right)-B\ \cdot log\left(r\right)\)

Substituindo X = log (r) e Y = log (f),

\(Y=log\left(A\right)-B\cdot X\)

Questão 2

(UFRGS) Se \({10}^x={20}^y\), atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de \(\frac{x}{y}\) é

A) 0,3.

B) 0,5.

C) 0,7.

D) 1.

E) 1,3.

Resolução:

Alternativa E.

Aplicando logaritmo (na base 10) nos dois lados da expressão, temos

\(log\ {10}^x=log\ {20}^y\)

Pela propriedade do logaritmo da potência,

\(x\ \cdot log\ 10\ =\ y\ \cdot log\ 20\)

Como log 10 = 1 e 20 = 2 ⋅10,

\(x=y\cdot log\left(2\cdot10\right)\)

\(\frac{x}{y}=log\left(2\cdot10\right)\)

Pela propriedade do logaritmo do produto,

\(\frac{x}{y}=log\ 2\ +\ log\ 10\)

Como log 10 = 1 e log 2 = 0,3,

\(\frac{x}{y}=0,3\ +\ 1\)

\(\frac{x}{y}=1,3\)

Fontes

DINIZ, G. F. Um estudo sobre exponenciais e logaritmos e aplicações. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Uberaba, 2018. Disponível em: http://bdtd.uftm.edu.br/handle/tede/822.

LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. 11. ed. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.