Propriedades da multiplicação

A multiplicação é uma operação matemática básica que possui algumas propriedades capazes de auxiliar nos cálculos e de agilizá-los, de modo que alguns podem até ser feitos mentalmente. As cinco propriedades da multiplicação são: comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, elemento inverso multiplicativo e propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.

Veja também: Multiplicação e divisão de frações

1. Comutatividade

Independente da ordem em que uma multiplicação é feita, o resultado sempre será o mesmo. Em outras palavras, dados os números reais x e y, e representando a multiplicação convencional por “·”, a propriedade comutativa da multiplicação é:

x·y = y·x

Essa propriedade também pode ser lida da seguinte maneira:

A ordem dos fatores não altera o produto.

Cada número presente em uma multiplicação é um de seus fatores, e o resultado da multiplicação é chamado produto.

De acordo com essa propriedade, multiplicando 235 por 15 e 15 por 235 teremos:

235·15 = 15·235 = 3525

Veja também: Dicas para o cálculo da multiplicação

2. Associatividade

Em uma multiplicação de três fatores, podemos multiplicar os dois primeiros fatores e o resultado pelo último ou podemos multiplicar o primeiro fator pelo produto dos dois últimos que os resultados serão iguais.

Em outras palavras, dados os números reais x, y e z, a propriedade associativa garante que:

(x·y)·z = x·(y·z)

Combinando essa propriedade com a comutativa, poderemos realizar a multiplicação que envolve três ou mais fatores em qualquer ordem. O resultado sempre será o mesmo.

Exemplo:

10·5·3 = 50·3 = 150

10·5·3 = 10·15 = 150

3. Existência de elemento neutro

O elemento neutro da multiplicação é o número que, multiplicado por x, tem como resultado o próprio x. Esse número é sempre 1. Em outras palavras, dado o número real x, o elemento neutro da multiplicação é 1:

x·1 = 1·x = x

Exemplo:

2·1 = 1·2 = 2

4. Elemento inverso multiplicativo

Dado um número real, seu elemento inverso será outro número real cujo resultado da multiplicação entre eles seja o elemento neutro da multiplicação. Em outras palavras, dado x pertencente ao conjunto dos números reais, x ^{– 1} é seu elemento inverso se e somente se:

x·x ^{– 1} = 1

Por exemplo:

5·1  = 1
 5     

Portanto, o inverso multiplicativo de 5 é 1/5.

5. Distributividade

O produto da soma é igual à soma dos produtos, ou seja, podemos somar primeiro o que está no interior dos parênteses e, depois, realizar a multiplicação ou podemos multiplicar o fator x por cada uma das parcelas dentro dos parênteses para, depois, realizar a adição.

Em outras palavras, dados os reais x, y e z, a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição garante que:

x·(y + z) = x·y + x·z

Por exemplo:

2·(7 + 9) = 2·16 = 32

2·(7 + 9) = 2·7 + 2·9 = 14 + 18 = 32