Propriedades da desigualdade

As inequações são expressões algébricas que possuem uma desigualdade, diferentemente das equações, que possuem uma igualdade. As desigualdades são menor, maior, menor ou igual e maior ou igual e são representadas, respectivamente, pelos símbolos: <, >, ≤ e ≥. Essa diferença garante também algumas propriedades que não se aplicam às equações.

Propriedades da desigualdade

a) Ao somarmos ou subtrairmos um número ou incógnita qualquer em ambos os membros de uma inequação, o sinal de desigualdade permanece inalterado.

Observe que essa propriedade em muito se parece com o que sempre é feito como “primeiro passo” para a solução de equações e inequações. Os professores costumam ensinar que devemos reescrever os termos que possuem incógnita no primeiro membro e os que não possuem no segundo e, além disso, trocar o sinal daqueles que trocam de membro.

Acontece que esse “primeiro passo” é uma simplificação da primeira propriedade. Observe um exemplo:

12x + 20 > 10x + 40

12x + 20 – 20 > 10x + 40 – 20

12x > 10x + 40 – 20

Observe que, ao operar somente a subtração presente no primeiro membro e ignorarmos essa segunda inequação, fica parecendo que o número 20 trocou de membro e de sinal. Portanto, ao trocar termos de membro e de sinal, o sentido da desigualdade permanece inalterado. Continuando a resolução:

12x > 10x + 20

12x – 10x > 10x + 20 – 10x

2x > 20

b) Ao multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por um número positivo, o sinal da desigualdade permanece inalterado.

Observe que essa propriedade em muito se parece com o “segundo passo” de resolução de inequações, em que geralmente pegamos o número que multiplica a incógnita e colocamos no outro membro dividindo o que estiver lá. Esse segundo passo é uma simplificação do seguinte procedimento, para o qual utilizaremos o resultado do exemplo anterior.

1·2x > 20·1
2             2

x > 10

Da mesma maneira que na propriedade anterior, se resolvermos o cálculo presente apenas no primeiro membro, parecerá que o número 2 foi colocado no denominador do outro membro da inequação.

c) Ao multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade deve ser invertido.

Essa propriedade é exatamente igual à anterior no que se refere às operações a serem realizadas. Entretanto, se o número que estiver sendo multiplicado nos dois lados da inequação for negativo, será obrigatório inverter o sinal de desigualdade.

Assim, ao “passar” dividindo um número negativo (trocar um número negativo de membro quando esse número está multiplicando), por exemplo, inverte o sinal da desigualdade. Além disso, multiplicar uma equação por – 1 também inverte o sinal da desigualdade. Por exemplo:

2x + 16 < 10x – 16

2x – 10x < – 16 – 16

– 8x < – 32 (– 1)

8x > 32

x > 32
      8

x > 4