Progressão geométrica (PG)

Progressão geométrica (PG) é um encadeamento de números que seguem o seguinte padrão: a multiplicação de cada termo por um valor fixo (uma constante) resulta no termo seguinte.

O estudo da PG envolve analisar o comportamento de seus termos e compreender as fórmulas de generalização, muito úteis para progressões geométricas com muitos termos. As fórmulas mais utilizadas são a do termo geral e a soma dos termos.

Leia também: Interpolação de meios geométricos — um tópico abordado no estudo da PG

Resumo sobre progressão geométrica (PG)

• A progressão geométrica (PG) é formada por números que são resultado da multiplicação entre o termo anterior e uma constante.

• Em uma PG, chamamos o primeiro termo de \(a_1\), o segundo termo de \(a_2\) e assim por diante. A razão é representada por q.

• Uma PG pode ser classificada em crescente, constante, decrescente e oscilante. Sua classificação depende da razão q.

• A PG tem duas principais propriedades: cada termo é igual à média geométrica de seus vizinhos, e o produto dos termos equidistantes é constante.

• A fórmula do termo geral de uma PG é \(a_n=a_1.q^{n-1}\).

• A soma finita de uma PG é obtida pela expressão \(S_n=\frac{a_1.(1-q^n )}{1 - q}\), e a soma infinita de uma PG, pela fórmula \(S_∞=\frac{a_1}{1 - q}\).

Videoaula sobre progressão geométrica (PG)

O que é progressão geométrica?

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada termo é obtido por meio do produto entre o termo anterior e uma constante. Essa constante, no contexto da PG, é chamada de razão e indicada pela letra q. Por exemplo: (4, 12, 36) é uma PG com q = 3, pois para encontrar o próximo termo multiplicamos o termo anterior por 3.

Cada termo é indicado por uma letra minúscula e nomeado por um subíndice relativo à sua posição:

Representamos o primeiro termo por \(a_1\), o segundo termo por \(a_2\), o terceiro termo por \(a_3\) e assim por diante. Em uma PG, para encontrar o termo seguinte, multiplicamos o anterior por uma razão q:

Cuidado! A razão q pode ser um número negativo:

Observação: uma progressão geométrica pode ter infinitos termos. Por exemplo, (5, 25, 125, 625, ...) é a PG das potências positivas de 5.

Classificações da PG

A classificação de uma progressão geométrica (PG) depende do comportamento de seus termos.

• Crescente: uma PG é crescente quando seus termos aumentam à medida que a posição aumenta.

\(a_1<a_2<a_3<a_4<⋯<a_n\)

Isso acontece quando a razão é maior que 1, ou seja, \(q>1\).

Observe a PG infinita (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) com q = 2. Conforme a posição dos termos aumenta, seu valor também aumenta. Essa é uma PG crescente.

• Constante: uma PG é constante quando seus termos não se alteram com o aumento da posição, ou seja, quando todos os termos são iguais.

\(a_1=a_2=a_3=a_4=⋯=a_n\)

Isso acontece quando a razão é igual a 1, ou seja, q = 1.

Observe a PG de 5 termos (-20, -20, -20, -20, -20) com q = 1. Essa é uma PG constante com todos os termos iguais a -20.

• Decrescente: uma PG é decrescente quando seus termos diminuem à medida que a posição aumenta.

\(a_1>a_2>a_3>a_4>⋯>a_n\)

Isso acontece quando a razão está entre 0 e 1, ou seja, 0 < q < 1.

Observe a PG infinita (\(1,\frac{1}2,\frac{1}4,\frac{1}8,\frac{1}{16},...\)) com \(q=\frac{1}2\). Conforme a posição dos termos aumenta, seu valor diminui. Essa é uma PG decrescente.

• Alternante ou oscilante: uma PG é alternante ou oscilante quando seus termos variam entre positivos e negativos à medida que a posição aumenta. Isso acontece quando a razão é inferior a 0, ou seja, q < 0.

Observe a PG infinita (10, -20, 40, -80, 160, ...) com q = -2. Conforme a posição dos termos aumenta, seus valores oscilam entre positivos e negativos.

Leia também: Progressão aritmética — outro tipo de progressão bastante comum

Quais as propriedades da PG?

1. Cada termo de uma PG é igual à média geométrica de seus vizinhos (termo anterior e posterior).

Considere a PG (1, 4, 16, 64, 256). Vamos escolher, por exemplo, o segundo termo, ou seja, 4. Agora vamos calcular a média geométrica entre o termo anterior e o termo posterior:

\(\sqrt[2]{1.16}=\sqrt[2]{16}=4\)

Ou seja, a média geométrica entre 1 e 16 é 4, que é o termo do meio.

Observe que se escolhermos outro termo, exceto os extremos, a propriedade continua válida.

De modo geral, um termo de uma PG em uma posição k qualquer é a média geométrica dos termos nas posições k - 1 e k + 1. Em notação matemática:

\(a_k=\sqrt[2]{a_{k-1}.a_{k+1}}\)

2. O produto dos termos equidistantes de uma PG finito é constante.

Observe a PG (2, 6, 18, 54, 162, 486). Perceba que o produto dos termos equidistantes resulta no mesmo valor:

2 x 486 = 972

6 x 162 = 972

18 x 54 = 972

Fórmula do termo geral da PG

Quando uma PG possui muitos termos, é conveniente utilizar a fórmula do termo geral para descrevê-los.

Pela definição de PG, sabemos que:

\(a_2=a_1.q^1\)

\(a_3=a_2.q=a_1.q^2\)

\(a_4=a_3.q=a_1.q^3\)

\(a_5=a_4.q=a_1.q^4\)

Seguindo o padrão, podemos utilizar a expressão a seguir para representar um termo \(a_n\) em uma posição n qualquer:

\(a_n=a_1.q^{n-1}\)

em que:

• \(a_n\) é o termo na posição n;

• \(a_1\) é o primeiro termo;

• n é a posição do termo \(a_n\);

• q é a razão.

Exemplos:

1. Considere a PG (\(-1,2,-4,8,-16,...\)). Qual é o 15º termo desta PG?

Observe que buscamos o valor do termo \(a_15\). Por meio da PG, sabemos que \(a_1=-1\) e \(q=-2\). Assim, pela fórmula do termo geral da PG:

\(a_15=(-1)·(-2)^{14}=- 16384\)

2. Determine o termo \(a_7\) da PG (\(\frac{2}{5},\frac{2}{20},\frac{2}{80},…\) ).

Por meio da PG, sabemos que \(a_1=\frac{2}5\) e \(q=\frac{1}4 \). Assim, pela fórmula do termo geral da PG:

\(a_{21}=(\frac{2}5).(\frac{1}4)^6=(\frac{2}{5}).(\frac{1^6}{4^6} )=\frac{2}{20480}\)

Observação: Em alguns exercícios, as frações podem aparecer simplificadas. No exemplo anterior, \(\frac{2}{20}\) poderia ser escrita como \(\frac{1}{10}\), \(\frac{2}{80}\) poderia ser escrita como \(\frac{1}{40} \) e \(\frac{2}{20480} \) poderia ser escrita como \(\frac{2}{10240}\).

Soma dos termos da PG

Existem dois tipos de soma dos termos de uma progressão geométrica: a soma finita e a soma infinita. Vejamos a diferença:

• Soma finita

Dada uma progressão geométrica qualquer, podemos encontrar a soma de seus n primeiros termos por meio da seguinte expressão:

\(S_n=\frac{a_1.(1-q^n )}{1 - q}\)

em que:

• \(S_n\) é a soma de n termos;

• \(a_n\) é o primeiro termo;

• n é a quantidade de termos somados;

• q é a razão.

Exemplo:

Qual a soma dos 7 primeiros termos da PG (1, 3, 9, ...)?

Precisamos encontrar o valor de \(S_7\). Observe que \(a_1=1\) e \(q=3 \). Assim, utilizando a fórmula da soma finita de uma PG:

\(S_7=\frac{1.(1-3^7 )}{1 - 3}= 1093\)

• Soma infinita

A princípio, parece estranha a ideia de somar uma quantidade infinita de números. Acontece que o resultado dessa soma nem sempre é infinito.

Quando temos uma PG infinita em que a razão está entre -1 e 1, ou seja, -1 < q < 1, com q ≠ 0, a soma de seus termos vai se aproximar de um certo valor. Mas como encontrar uma fórmula que represente essa soma?

Vamos partir da fórmula para a soma finita de uma PG:

\(S_n=\frac{a_1.(1-q^n )}{1 - q}\)

No caso de soma infinita, deveríamos substituir \(n\) por \(∞\), o que nos daria \(q^∞\) na fórmula. Acontece que a razão q é um valor entre -1 e 1, portanto \(q^∞\) indica um número pequeno com uma potência infinita.

Pensar em infinito pode parecer complicado, então vamos imaginar um exemplo de número pequeno, entre -1 e 1, com uma potência grande.

Quanto vale \((\frac{1}{2})^{1000000}\)?

Bem, \((\frac{1}{2})^2=\frac{1}4=0,25\). Já \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}=0,125\).  

Perceba que quanto mais aumentamos o expoente, menor é o valor do número pequeno elevado a esse expoente. Ou seja, podemos não saber quanto vale \((\frac{1}{2})^{1000000}\), mas podemos concluir que é um número muito, muito pequeno.

Continuando esse raciocínio com outros exemplos, podemos observar que um número pequeno (entre -1 e 1 e diferente de zero) quando elevado a uma potência muito grande vai se aproximar de zero.

Isso significa que quando -1 < q < 1, com q ≠ 0, podemos considerar que \(q^∞\) é praticamente zero. Retornando à fórmula da soma finita de uma PG, substituímos \(q^∞\) por 0.

Assim, obtemos a fórmula para a soma infinita de uma PG:

\(S_∞=\frac{a_1}{1 - q}\)

Exemplo:

Qual a soma dos infinitos termos da PG (\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},...\))?

Sabemos que \(a_1=1\) e \(q=\frac{1}{2}\). Portanto, utilizando a fórmula para a soma infinita de uma PG:

\(S_∞=\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}=2\)

Leia também: Demonstração da fórmula de soma dos termos de uma PA

Exercícios resolvidos sobre progressão geométrica (PG)

Questão 1

(Enem 2020) O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

a) \((\frac{1}{2})^{100}\)

b) \((\frac{1}{2})^{99}\)

c) \((\frac{1}{2})^{97}\)

d) \((\frac{1}{2})^{-98}\)

e) \((\frac{1}{2})^{-99}\)

Solução:

Observe que os lados do quadrado formam uma progressão geométrica com \(a_1=1 \) e \(q=\frac{1}{2}\), ou seja, (\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},... \)). Assim, podemos encontrar a medida do lado do centésimo quadrado utilizando a fórmula do termo geral da PG:

\(a_{100}=1·(\frac{1}{2})^{100-1}=(\frac{1}{2})^{99}\)

Alternativa B

Questão 2

(UEG 2017) Dada a sequência (-7, 21, - 63, ...), que forma uma progressão geométrica, o sexto termo dessa progressão é

a) -1701

b) 1701

c) 2187

d) -5103

e) 5103

Solução:

Perceba que temos uma PG oscilante, com \(a_1=-7\) e \(q=-3\). Assim, podemos encontrar \(a_5\) aplicando a fórmula do termo geral da PG:

\(a_6=(-7)·-3^5=1701\)

Alternativa B