Progressão aritmética (PA)

A progressão aritmética (PA) é uma das progressões mais importantes e segue uma regra linear: para encontrar o próximo termo, é necessário adicionar um valor fixo (uma constante) ao anterior.

O estudo da PA envolve propriedades específicas e classificações de acordo com os termos que a compõem. Além disso, é frequente o uso de fórmulas de generalização, principalmente para progressões aritméticas com muitos termos. As fórmulas mais conhecidas são a do termo geral e da soma dos termos.

Leia também: Progressão geométrica (PG) — outro tipo muito comum de progressão

O que é uma PA?

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que cada termo é obtido por meio da soma entre o termo anterior e uma constante. No contexto da PA, essa constante é chamada de razão e indicada pela letra r. Por exemplo, (5, 7, 9, 11) é uma PA com r = 2, pois para encontrar o próximo termo adicionamos 2 ao termo anterior.

Os termos de uma progressão são nomeados por uma letra minúscula, e sua posição é indicada como subíndice:

Assim, \(a_1\) é o primeiro termo, \(a_2\) é o segundo termo, \(a_3\) é o terceiro termo e assim por diante. No caso da PA, isso significa que cada novo termo é igual ao anterior mais a razão r.

Cuidado: A razão r pode ser um número negativo:

Observação: Uma progressão aritmética pode ter infinitos termos. Por exemplo, (2, 4, 6, 8, 10, ...) é a PA formada pelos números pares positivos.

Videoaula sobre progressão aritmética (PA)

Propriedades da PA

1. Cada termo de uma PA é igual à média aritmética de seus vizinhos (termo anterior e posterior).

Considere a PA (29, 23, 17, 11, 5). Vamos escolher, por exemplo, o terceiro termo, ou seja, 11. Agora, vamos calcular a média aritmética entre o termo anterior e termo posterior:

\(\frac{17+5}{2}=11\)

Ou seja, a média aritmética entre 17 e 5 é 11, que é o termo do meio.

Observe que se escolhermos outro termo, exceto os extremos, a propriedade continua válida.

De modo geral, um termo de uma PA em uma posição k qualquer é a média aritmética dos termos nas posições k - 1 e k + 1. Em notação matemática:

\(a_k=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}\)

2. A soma dos termos equidistantes de uma PA finita é constante.

Considere a PA (1, 3, 5, 7, 9, 11). Observe que a soma dos termos equidistantes resulta sempre no mesmo número:

1 + 11 = 12

3 + 9 = 12

5 + 7 = 12

Classificação da PA

Uma progressão aritmética é classificada de acordo com o comportamento de seus termos.

• Crescente: Uma PA é dita crescente quando seus termos aumentam à medida que a posição aumenta.

\(a_1<a_2<a_3<a_4<⋯<a_n\)

Isso acontece quando a razão é positiva, ou seja, \(r>0\).

Considere a PA (2, 5, 8, 11, …), que possui infinitos termos e r = 3. Observe que, conforme a posição dos termos aumenta, seu valor também cresce. Essa PA é crescente.

• Decrescente: Uma PA é dita decrescente quando seus termos diminuem à medida que a posição aumenta.

\(a_1>a_2>a_3>a_4>⋯>a_n\)

Isso acontece quando a razão é negativa, ou seja, \(r<0\).

Considere a PA (9, 8, 7, 6, 5, 4, …), que possui infinitos termos e \(r=-1 \). Observe que, conforme a posição dos termos aumenta, o valor dos termos diminui. Essa PA é decrescente.

• Constante: Uma PA é dita constante quando seus termos não se alteram com o aumento da posição, ou seja, quando possui termos iguais.

\(a_1=a_2=a_3=a_4=⋯=a_n\)

Isso acontece quando a razão é nula, ou seja, r = 0.

(-10, -10, -10, -10, …) é um exemplo de PA constante com infinitos termos iguais a -10.

Qual a fórmula do termo geral da PA?

Quando uma PA possui muitos termos, é conveniente utilizar a fórmula do termo geral para descrevê-los.

Sabemos pela definição de PA que:

\(a_2=a_1+1r\)

\(a_3=a_2+r=a_1+2r\)

\(a_4=a_3+r=a_1+3r\)

\(a_5=a_4+r=a_1+4r\)

Seguindo a lógica acima, perceba que podemos utilizar a seguinte expressão para representar um termo \(a_n\) em uma posição n qualquer:

\(a_n=a_1+(n-1)·r\)

em que:

• \(a_n\) é o termo na posição n;

• \(a_1\) é o primeiro termo;

• n é a posição do termo an ;

• r é a razão.

Exemplos:

1. Encontre o 100º termo da PA (3, 8, 13, …).

Precisamos descobrir qual é o termo \(a_100\).  Observe que \(a_1=3\) e \(r=5\).  Aplicando a fórmula do termo geral, temos que:

\(a_{100}=3+(100-1)·5\)

\(a_{100}=3+495\)

\(a_{100}=498\)

2. Qual é a posição do termo - 323 na PA (48, 41, 34, ...)?    

Agora a situação é diferente: precisamos encontrar o valor de n para o qual \(a_n=-323\). Observe que \(a_1=48\) e \(r=7\).  Aplicando a fórmula do termo geral, temos que:

\(-323=48+(n-1)·(-7)\)

\(-323-48=(n-1)·(-7)\)

\(-371=(n-1)·(-7)\)

\(\frac{-371}{-7}=n-1\)

\(54=n \)

Soma dos termos de uma PA

Dada uma progressão aritmética qualquer, podemos encontrar a soma de seus n primeiros termos por meio da seguinte fórmula:

\(S_n=\frac{(a_1+a_n )·n}{2}\)

em que:

• \(S_n\) é a soma de n termos;

• \(a_1\) é o primeiro termo;

• \(a_n\) é o termo na posição n;

• n é a quantidade de termos somados.

Exemplo:

1. Qual a soma dos 25 primeiros termos da PA (2, 4, 6, 8, 10, …)?

Precisamos descobrir quanto vale \(S_{25}\). No entanto, para utilizar a fórmula da PA, é necessário conhecer o termo \(a_{25}\). Para encontrá-lo, primeiramente aplicaremos a fórmula do termo geral, sabendo que \(a_1=2\) e \(r=2\) .

\(a_{25}=2+(25-1)·2\)

\(a_{25}=2+48\)

\(a_{25}=50\)

Agora, podemos substituir \(a_{25}=50\) na fórmula da soma dos termos da PA.

\(S_{25}=\frac{(2+50).25}{2}\)

\(S_{25}=\frac{1300}2\)

\(S_{25}=650\)

Saiba mais: Demonstração da fórmula de soma dos termos de uma PA

Interpolação de meios aritméticos

Interpolar meios aritméticos significa encontrar os termos intermediários de uma PA, supondo que os extremos sejam conhecidos. Para isso, basta utilizarmos a fórmula do termo geral para determinar a razão e completar a PA.

Exemplo:

Complete a PA (1, _, _, _, _, 116).

Como \(a_1=1\) e \(a_6=116\), temos, pela fórmula do termo geral:

\(116=1+(6-1)·r\)

\(116-1=5·r \)

\(\frac{115}5=r\)

\(23=r \)

Como a razão é 23, basta adicionar esse valor a cada termo a partir do primeiro para encontrar o próximo e completar a PA:

\(a_2=1+23=24\)

\(a_3=24+23=47\)

\(a_4=47+23=70\)

\(a_5=70+23=93\)

Portanto, a PA completa é (1, 24, 47, 70, 93, 116).

Exercícios resolvidos sobre progressão aritmética (PA)

Questão 1

(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é

a) R$ 512.000,00.

b) R$ 520.000,00.

c) R$ 528.000,00.

d) R$ 552.000,00.

e) R$ 584.000,00.

Resolução:

Alternativa C

Perceba que a distância entre os postes forma uma PA em que a₁ = 80, a_n = 1380, r = 20 e n, ou seja, a quantidade de postes instalados, é o valor desconhecido.

Utilizando a fórmula do termo geral da PA, temos que:

1380 = 80 + (n – 1) · 20

O que resulta em n = 66. Para a instalação de 66 postes, a prefeitura gastará 66 · R$ 8000 = R$ 528.000,00.

Questão 2

(Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

a) 40

b) 60

c) 100

d) 115

e) 120

Resolução:

Alternativa D

Observe que João e Pedro se encontram a cada 6 andares, formando a PA (1, 7, 13, …, a₂₀), em que a₂₀ representa o andar em que se encontraram pela última vez, no último andar do edifício. Assim, temos uma progressão aritmética em que a₁ = 1 e r = 6 e em que buscamos a₂₀.

Utilizando a fórmula do termo geral da PA:

a₂₀ = 1 + (20 – 1) · 6

O que resulta em a₂₀ = 115.