Produtos notáveis

Os produtos notáveis são polinômios que possuem uma forma geral para realizar a sua resolução. Eles são utilizados para simplificar problemas envolvendo multiplicação de polinômios. Conhecer a forma de resolução de cada um dos cinco produtos notáveis facilita na resolução de situações-problemas que envolvem polinômios, que são bastante comuns na geometria analítica e outras áreas da Matemática.

Os cinco produtos notáveis são:

• quadrado da soma;

• quadrado da diferença;

• produto da soma pela diferença;

• cubo da soma;

• cubo da diferença.

Vale ressaltar que estudar produtos notáveis é encontrar um método para resolver, de forma mais rápida, cada um desses casos citados.

Leia também: Como calcular a divisão de polinômios?

Quais são os produtos notáveis?

Para resolver multiplicações cujos termos são polinômios, é necessário saber diferenciar cada um dos casos de produtos notáveis. Atualmente eles são divididos em cinco, e cada um possui um método de resolução. São eles: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

• Quadrado da soma

Como o nome sugere, estamos elevando uma soma de dois termos ao quadrado, como nos exemplos a seguir.

Exemplos:

• (x + y) ²

• (a + b) ²

• (2x + 3y)²

• (x + 2)²

Quando o polinômio possui dois termos, como nos exemplos, estamos trabalhando com um binômio. Elevar um binômio ao quadrado nada mais é do que multiplicá-lo por ele mesmo; porém, para que não seja necessário repetir esse processo sempre, basta lembrar que ele é um produto notável e que, nesse caso, existe um jeito prático de resolver.

(a + b) ² = a ² + 2ab + b²

Sabendo que a é o primeiro termo e b é o segundo termo, para resolver o quadrado da soma, basta lembrar sempre que a resposta será:

• a² (quadrado do primeiro termo);

• + 2ab (mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo);

• + b² (mais o quadrado do segundo termo).

Exemplo 1:

(x + 3) ²

x → primeiro termo
3 → segundo termo

Assim, podemos escrever:

• quadrado do primeiro termo → x²;

• mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo → 2·x·3 = 6x;

• mais o quadrado do segundo termo → 3² = 9.

Logo, podemos dizer que:

(x+3)² = x² + 6x + 9

Exemplo 2:

(2x + 3y)²

Podemos escrever:

• quadrado do primeiro termo → (2x)² = 4x²;

• mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo → (2·2x·3y) = +12xy;

• mais o quadrado do segundo termo → (3y)² = 9y².

(2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Leia também: Multiplicação de fração algébrica – como calcular?

• Quadrado da diferença

O jeito de resolver não é muito diferente do quadrado da soma, logo, se você compreendeu bem o quadrado da soma, não terá dificuldade em compreender o quadrado da diferença também. Nesse caso, vamos ter, ao invés da soma, uma diferença entre dois termos ao quadrado.

Exemplos:

• (x – y) ²

• (a – b) ²

• (5x – 3y)²

• (y – 4)²

Nesse caso, temos que:

(a – b) ² = a ² – 2ab + b²

Note que, ao comparar o quadrado da soma e o quadrado da diferença, o que muda é somente o sinal do segundo termo.

Sabendo que a é o primeiro termo e b é o segundo termo, para resolver o quadrado da diferença, basta lembrar que a resposta será:

• a² (quadrado do primeiro termo);

• – 2ab (menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo);

• + b² (mais o quadrado do segundo termo).

Exemplo 1:

(y – 4) ²

y → primeiro termo

4 → segundo termo

Podemos escrever, portanto:

• quadrado do primeiro termo → y²;

• menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo → - 2 · y · 4 = -8y;

• mais o quadrado do segundo termo → 4² = 16.

Então, temos que:

(y – 4) ² = y² – 8y + 16

• Produto da soma pela diferença de dois termos

Outro caso de produto notável bastante comum é o cálculo do produto da soma com a diferença de dois termos.

(a + b) ( a – b) = a² – b²

(a + b) → soma

(a – b) → diferença

Nesse caso, temos que:

• a→ primeiro termo

• b → segundo termo

Então, (a + b) (a – b) será igual a:

• a² (quadrado do primeiro termo);

• -b² (menos o quadrado do segundo termo).

Exemplo:

(x + 5 ) ( x – 5 )

x → primeiro termo

5 → segundo termo

Podemos escrever:

• quadrado do primeiro termo → x²;

• menos o quadrado do segundo termo → - 5² = - 25.

Então, temos que:

(x + 5 ) ( x – 5 ) = x² – 25

Leia também: Como encontrar o MMC de polinômios?

• Cubo da soma

É possível também desenvolver uma fórmula para calcular o cubo da soma.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Assim, temos que:

• a→ primeiro termo;

• b → segundo termo

• a³ → cubo do primeiro termo;

• +3a²b → mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo;

• +3ab² → mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo;

• +b³ → mais o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x + 2)³

Podemos escrever:

• cubo do primeiro termo → x³;

• mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3·x²·2 = + 6x²;

• mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3·x·2² = 3·x·4=12x;

• mais o cubo do segundo termo → 2³ = +8.

Então, temos que:

(x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

Note que esse caso é um pouco mais complexo do que o quadrado da soma e, quanto maior for o expoente, mais difícil será de resolver.

• Cubo da diferença

A diferença entre o cubo da diferença e o cubo da soma é só no sinal dos termos.

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² - b³

Assim, temos que:

• a³ → cubo do primeiro termo;

• – 3a²b → menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo;

• +3ab² → mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo;

• – b³ → menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x – 2)³

Assim sendo, temos que:

• cubo do primeiro termo → x³;

• menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3·x²·2 = – 6x²;

• mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3·x·2² = 3·x·4=12x;

• mais o cubo do segundo termo → 2³ = – 8.

(x – 2)³= x³ – 6x² + 12x – 8.

Produtos notáveis e fatoração de polinômios

Existe uma relação muito próxima entre os produtos notáveis e a fatoração de polinômios. Para realizar simplificações, em vez de desenvolver o produto notável, muitas vezes temos a necessidade de fatorar a expressão algébrica, escrevendo-a como um produto notável. Nesse caso, é essencial conhecer os produtos notáveis para que seja possível realizar essas simplificações.

Fatorar nada mais é do que transformar o polinômio no produto dos seus termos. Em caso de fatoração de um polinômio que é um produto notável, seria como realizar a operação contrária de desenvolver esse produto notável.

Exemplo:

Fatore o polinômio x² – 16.

Analisando esse polinômio, queremos escrevê-lo como a multiplicação de dois termos, mas, se analisarmos bem, podemos reescrevê-lo da seguinte maneira:

x² – 4²

Nesse caso, temos o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. O produto notável que, ao ser desenvolvido, gera essa expressão algébrica é o produto da soma pela diferença de dois termos. Assim, podemos fatorar essa expressão reescrevendo-a da seguinte maneira:

x² – 16 = (x + 4) (x – 4)

Exercícios resolvidos

Questão 1 – A área do retângulo a seguir pode ser representada pelo polinômio:

A) x – 2.
B) x² – 4.
C) x² + 2.
D) x + 4.
E) x³ – 8.

Resolução

Alternativa B.

A área de um retângulo é a multiplicação da sua base pela altura, então:

A = (x + 2 ) ( x – 2)

Note que esse é um produto notável: produto da soma pela diferença.

A = (x + 2 ) ( x – 2) = x² – 4

Questão 2 – Simplificando a expressão (x + 3 )² – (x + 3) ( x – 3 ) - 6x, encontraremos:

A) 0.
B) x³ – 18.
C) 2x².
D) x² + 9.
E) 18.

Resolução

Alternativa E.

Nesse caso, temos dois produtos notáveis e resolveremos cada um deles.

(x+3)² = x² + 6x + 9

(x + 3) ( x – 3) = x² – 9

Então, temos que:

x² + 6x + 9 – (x² – 9) -6x

x² + 6x + 9 – x² + 9 – 6x

x² – x² 6x – 6x + 9 + 9

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