Produto dos termos de uma PG

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números na qual, a partir do segundo, todo termo é igual ao produto do anterior com uma constante, chamada de razão da PG e representada pela letra q. É possível encontrar o termo geral da PG, somar os termos de uma PG finita ou infinita e encontrar o produto dos termos da PG finita por meio de fórmulas, todas obtidas de maneira simples a partir de algumas propriedades da Matemática.

A fórmula usada para determinar o produto dos termos de uma PG finita é a seguinte:

Nessa fórmula, P_n é o resultado encontrado, ou seja, o produto dos termos de uma PG que possui n termos, a₁ é o primeiro termo da PG, “q” é sua razão e “n” seu número de termos.

Para demonstrar essa fórmula, é preciso discutir o que acontece com cada termo da PG quando tentamos escrevê-lo em função do primeiro. Para fazer isso, escreveremos a decomposição em fatores primos de cada termo.

Termos de uma PG

Como exemplo, observe a PG a seguir, cujo primeiro termo é 3 e a razão é 2:

(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …)

Cada termo dessa PG pode ser obtido por meio de um produto do anterior com 2:

3 = 3

6 = 3·2

12 = 6·2

24 = 12·2

…

Note também que é possível escrever cada um desses termos como um produto do primeiro termo pela razão:

3 = 3

6 = 3·2

12 = 3·2·2

24 = 3·2·2·2

48 = 3·2·2·2·2

96 = 3·2·2·2·2·2

192 = 3·2·2·2·2·2·2

…

Para tornar mais clara a relação entre cada termo e a razão da PG, escreveremos cada termo em função do primeiro, multiplicado pela razão na forma de potência, dispondo também a posição ocupada pelos termos com o uso de índices:

a₁ = 3 = 3·2⁰

a₂ = 6 = 3·2¹

a₃ = 12 = 3·2²

a₄ = 24 = 3·2³

a₅ = 48 = 3·2⁴

a₆ = 96 = 3·2⁵

a₇ = 192 = 3·2⁶

…

Cada termo da PG é um produto do primeiro termo por uma potência, cuja base é a razão e cujo expoente é uma unidade menor que “a posição” que esse termo ocupa. O sétimo termo, por exemplo, é dado por 3·2⁶.

Assim, podemos admitir que, para qualquer PG:

a_n = a₁·q^{n – 1}

Demonstração da fórmula

Para demonstrar essa fórmula, podemos repetir o procedimento anterior para uma PG finita qualquer a fim de escrever todos os seus elementos em função do primeiro e da razão. Depois, multiplicar todos os termos dessa PG e simplificar o resultado.

Dada a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n), cuja razão é q, podemos escrever seus termos em função do primeiro:

a₁ = a₁

a₂ = a₁·q¹

a₃ = a₁·q²

…

a_{n – 2} = a₁·q^{n – 3}

a_{n – 1} = a₁·q^{n – 2}

a_n = a₁·q^{n – 1}

Multiplicando os n termos da PG finita, temos:

P_n = a₁·a₂·a₃· … ·a_{n – 2}·a_{n – 1}·a_n

P_n = a₁·a₁·q¹·a₁·q²·…·a₁·q^{n – 3}·a₁·q^{n – 2}·a₁·q^{n – 1}

Reorganizando os termos do produto, temos:

P_n = a₁· … ·a₁·a₁·…·a₁ ·q¹·q²· … ·q^{n – 3}·q^{n – 2}·q^{n – 1}

Observe que a quantidade de a₁ que aparece na expressão acima é n, pois a PG possui n termos. Como se trata de uma multiplicação, podemos escrever todos esses “a₁” na forma de potência:

P_n = a₁ⁿ ·q¹·q²· … ·q^{n – 3}·q^{n – 2}·q^{n – 1}

Com relação ao produto das razões, podemos notar que as bases são iguais, portanto, pelas propriedades de potências, mantemos a base e somamos os expoentes:

P_n = a₁ⁿ·q^{1 + 2 + 3 + … + n – 2 + n – 1}

Para finalizar, observe que a soma 1 + 2 + 3 … + n – 2 + n – 1 possui exatamente n – 1 elementos. Como discutido no exemplo, esse índice é sempre uma unidade menor que a “posição” do termo que ele representa, nesse caso, a_n. Essa é a soma dos termos da progressão aritmética finita B de n termos, cujo primeiro termo é 1 e a razão também é 1. Portanto, a soma dos termos dessa PA é:

S_n = (b₁ + b_n)n
              2     

O número de termos da PA é n – 1, logo:

S_n = (1 + n – 1)(n – 1)
                   2        

S_n = n(n – 1)
             2   

Substituindo esse resultado pela soma na fórmula:

P_n = a₁ⁿ·q^{1 + 2 + 3 + … + n – 2 + n – 1}

Obtemos a fórmula do produto dos termos de uma PG finita:

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