Potências de i

O conjunto dos números complexos é formado por todos os números z tais que z = a + bi, sendo a e b números reais e i = √(– 1). Nessa definição, o termo “a” é chamado de parte real do número complexo z, e o termo “bi” é parte imaginária. É também por conta dessa definição que existe um padrão nos resultados das potências que envolvem apenas “i”, as quais serão discutidas neste artigo. Conhecer os resultados dessas potências é indispensável para conseguir lidar bem com todas as operações matemáticas que também são definidas para esse conjunto.

Potências de i

Para calcular as potências de i, é importante saber que o quadrado da raiz quadrada de n é o próprio n. Como i é uma raiz quadrada, às vezes será possível simplificar o resultado fazendo:

ii = √(– 1)√(– 1) = √(– 1)² = – 1

Além disso, também é necessário conhecer algumas propriedades de potência para encontrar as potências de i. Essas potências são:

i⁰ = 1

i¹ = i

1² = – 1

i³ = i²·i = – 1·i = – i

i⁴ = i²· i² = (– 1)·(– 1) = 1

i⁵ = i⁴·i = 1·i = i

i⁶ = i⁴·i² = 1·(– 1) = – 1

i⁷ = i⁶·i = (– 1)·i = – i

i⁸ = i⁶·i² = (– 1)·(– 1) = 1

i⁹ = i⁸·i = 1·i = i

i¹⁰ = i⁸·i² = 1·(– 1) = – 1

i¹¹ = i¹⁰·i = (– 1)i = – i

i¹² = i¹⁰·i² = (– 1)·(– 1) = 1

…

Os motivos dos dois primeiros resultados evidenciados acima são as propriedades de potência. Lembre-se de que todo número elevado a zero tem 1 como resultado, e todo número elevado a 1 tem ele mesmo como resultado.

Além disso, perceba que os resultados possíveis para as potências de i são:

1, i, - 1 e - i

Calculando potências de i

A cada quatro potências, os valores de iⁿ variam entre 1, i, - 1 e - i, nessa ordem. Observe que i⁰ = i⁴ = i⁸ … O mesmo vale para as outras potências, que sempre serão iguais a alguma das potências de i a seguir:

i⁰, i¹, i² ou i³

Assim, para encontrar o valor de alguma potência de i, basta dividir seu expoente por 4. Ela terá o mesmo resultado que i elevado ao resto da divisão. Por exemplo: i¹³⁰.

  130 | 4 
 – 12  32
     10   
 – 8
     2    

Logo, i¹³⁰ = i² = - 1