Potenciação

A potenciação é uma operação da Matemática utilizada quando existe a multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo várias vezes, se tornando uma forma mais fácil de representar essa multiplicação e de calculá-la. Com o estudo da potenciação, é possível desenvolver algumas propriedades importantes que nos auxiliam a realizar cálculos envolvendo essa operação.

Para representar a potência de um número a, escrevemos aⁿ (lê-se: a elevado a n), em que n é o expoente e a é a base, o que significa que multiplicaremos a por ele mesmo n vezes. A potenciação possui uma operação inversa, conhecida como radiciação.

Leia também: Dicas para o cálculo da multiplicação

Resumo sobre potenciação

• A potenciação é uma operação da Matemática.

• Calcular a potência de a elevado a n é o mesmo que multiplicar a por ele mesmo n vezes.

\(a^n=a\cdot a\cdot a\ldots\cdot a\cdot a\)

• Na potência aⁿ = b, temos que:

  • a: base

  • n: expoente

  • b: potência

• A radiciação é a operação inversa da potenciação.

Videoaula sobre potenciação

O que é potenciação?

A potenciação é uma operação matemática que facilita a representação da multiplicação de um fator por ele mesmo várias vezes. Para expressar a multiplicação de um número a por ele mesmo n vezes, a representamos como uma potência:

\(a^n=a\cdot a\ldots\cdot a\cdot a\)

Os elementos da potenciação são a base, o expoente e a potência:

Cálculo da potência

Calcular a potência é realizar a multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo.

Exemplos:

\(6^{4} = 6\cdot6\ \cdot6\ \cdot6=1296\)

\(2^{3} = 2\cdot2\cdot2=8\)

\(5^{2} = 5\cdot5\ = 25\)

Leitura da potência

Quando representamos uma potência, a leitura correta é dizer o valor da base elevado ao valor do expoente. Veja os exemplos a seguir:

• aⁿ →  “a elevado a n”.

• 3⁵ →  “três elevado a cinco” ou “três elevado à quinta potência”.

• 2^{10 →}  “dois elevado a dez” ou “dois elevado a décima potência”.

Quando o expoente é 2 ou 3, além das formas de leituras apresentadas anteriormente, podemos usar “ao quadrado” e “ao cubo”:

• 7² →  “sete elevado a dois”, ou “sete elevado à segunda potência”, ou “sete elevado ao quadrado”, ou simplesmente “sete ao quadrado”.

• 6³ →  “seis elevado a três”, ou “seis elevado à terceira potência”, ou “seis elevado ao cubo”, ou simplesmente “seis ao cubo”.

Leia também: Operações matemáticas básicas — adição, subtração, multiplicação e divisão

Casos particulares de potenciação

Existem alguns casos particulares de potenciação. Veja cada um deles a seguir:

• Todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

10⁰  = 1

-1⁰ = 1

1392⁰ = 1

• Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

8¹ = 8

150¹ = 150

(-1000)¹ = -1000

• A base 1 elevada a qualquer potência é igual a 1.

1¹⁰ = 1

1³ = 1

1⁷³⁰  = 1

• Quando a base é negativa e o expoente é par, a potência é positiva.

(-4)² = (-4) (-4) = 16

(-3)⁴ = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81

• Quando a base é negativa e o expoente é ímpar, a potência é negativa.

(-5)³ = (-5) (-5) (-5) = -125

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são métodos que podemos utilizar para facilitar o cálculo de operações envolvendo potência. Trata-se de uma ferramenta importante para situações envolvendo notação científica, entre outras. Podemos descrever cinco propriedades da potenciação. São elas:

• Multiplicação entre potências de mesma base

Quando há uma multiplicação entre potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

\(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\)

Exemplo:

\(2^5:2^3=2^{5-3}=2^2\)

• Divisão entre potências de mesma base

Quando há uma divisão entre potências de mesma base, conversamos a base e subtraímos os expoentes.

\(a^n:a^m=a^{n-m}\)

Exemplo:

\(2^5:2^3=2^{5-3}=2^2\)

• Potência de potência

Quando há uma potência de potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

\(\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}\)

Exemplo:

\(\left(2^3\right)^4=2^{3\cdot4}=2^{12}\)

• Potência do produto

O produto entre dois números elevado a um expoente é igual ao produto da potência de cada um dos fatores elevado ao expoente.

\(\left(a\cdot b\right)^n=a^n\cdot b^n\)

Exemplo:

\(\left(3\cdot8\right)^2=3^2\cdot8^2\)

• Potência do quociente

O quociente entre dois números elevado a um expoente é igual à divisão entre o dividendo elevado ao expoente dividido pelo divisor elevado a esse expoente.

\(\left(a:b\right)^n=a^n:b^n\)

Exemplo:

\(\left(15:9\right)^6={15}^6:9^6\)

• Potenciação e radiciação

A radiciação e a potenciação são tidas como operações inversas, assim como a adição e a subtração são operações inversas. Por exemplo, sabemos que 4² é igual a 16 e que a raiz quadrada de 16 é igual a 4. Logo, para saber como calcular uma radiciação, é fundamental conhecer a potenciação.

• Potência de expoente negativo

Quando o expoente da potência é negativo, podemos inverter a base e trocar o sinal do expoente, ou seja, deixá-lo positivo. Depois disso, calculamos a potência normalmente.

Exemplo:

\(2^{-4}=\left(\frac{1}{2}\right)^4\frac{1^4}{2^4}=\frac{1}{16}\)

\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}\)

➝ Videoaula sobre as propriedades da potenciação

Exercícios resolvidos sobre potenciação

Questão 1

(Fauel) Assinale a alternativa que apresenta o resultado de \(2^{12}\cdot8^8:{16}^9\).

A) \( 2^{10}\)

B) \( {16}^{11}\)

C) \( 8^{12}\)

D) 1

 Resolução:

Alternativa D

Após analisar a expressão, reescreveremos as potências 8³ e \({16}^9\) como potências de base 2.

\(8^{3} = \left(2^3\right)^8 = 2^{3\cdot8}=2^{24}\)

\({16}^9=\left(2^4\right)^9=2^{4\cdot9}=2^{36}\)

Logo, a expressão numérica é:

\(2^{12}\cdot2^{24}:2^{36}\)

\(2^{12+24}:2^{36}\)

\(2^{36}:2^{36}\)

Sabemos que todo número dividido por ele mesmo é 1, então temos que:

\(2^{12}\cdot8^8:{16}^9\) = 1

Questão 2

(IFG 2018) O valor da expressão aritmética abaixo equivale a:

\(\frac{2^{-1}-\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^{-1}}{2^2+2^{-2}}\)

A) \( \frac{8}{17}\)

B) \( -\frac{8}{17}\)

C) \( \frac{16}{17}\)

D) \( -\frac{16}{17}\)

Resolução:

Alternativa D

\(\frac{2^{-1}-\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^{-1}}{2^2+2^{-2}}\)

\(\frac{\frac{1}{2}-4+\left(-\frac{1}{2}\right)}{4+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\)

\(\frac{\frac{1}{2}-4-\frac{1}{2}}{4+\frac{1}{4}}\)

\(\frac{-4}{\frac{17}{4}}\)

\(-4\cdot\frac{4}{17}\)

\(-\frac{16}{17}\)