Plano cartesiano

O plano cartesiano, também conhecido como eixo cartesiano, recebe esse nome em homenagem ao matemático René Descartes, que fez várias contribuições para a matemática. O plano cartesiano é formado por duas retas reais, conhecidas também como retas enumeradas. Essas retas são perpendiculares entre si, uma na horizontal, conhecida como eixo das abscissas ou eixo x, e outra na vertical, conhecida como eixo das ordenadas ou eixo y.

O plano cartesiano nos permite inicialmente encontrar a localização de pontos no plano, o par ordenado (x, y) é a representação de um ponto no plano cartesiano, e, com base nesse princípio básico, surgiram vários outros. Estudos foram desenvolvidos com base no plano cartesiano, como a geometria analítica, que envolve a representação de objetos geométricos, como a reta, a circunferência, entre outros.

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Resumo sobre o plano cartesiano

• O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares entre si e conhecidas como eixos.

• O eixo horizontal é conhecido como eixo x.

• O eixo vertical é conhecido como eixo y.

• O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes.

• Todo par ordenado (x, y) pode ser representado por um ponto no plano cartesiano.

Videoaula sobre plano cartesiano

Como fazer o plano cartesiano?

Para construir o plano cartesiano, desenhamos duas retas numeradas e perpendiculares entre si, uma na horizontal, conhecida como eixo x ou eixo das abcissas, e outra na vertical, conhecida como eixo y ou eixo das ordenadas.

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Representação de pontos no plano cartesiano

Com a construção do plano cartesiano, é possível representar a localização de pontos no plano. Sabemos que os eixos x e y são numerados, então, podemos representar pontos por meio de um par ordenado (x, y), ordenado porque a ordem é importante, pois, primeiro, sempre teremos o valor da abcissa e, depois, o valor da ordenada.

Exemplo:

Vejamos no plano cartesiano a representação do ponto (3, 2).

Note que a abcissa vale 3, então, encontraremos esse valor no eixo horizontal, e vamos traçar uma reta pontilhada, paralela ao eixo vertical, passando por 3:

Note que a ordenada vale 2, também encontraremos esse valor no eixo vertical, e traçamos uma reta paralela à reta horizontal, passando por 2.

Para representar pontos, geralmente utilizamos letras maiúsculas, assim, o ponto (3, 2) está representado por A no plano cartesiano, que é o encontro das retas pontilhadas. De forma mais organizada, podemos representar esse ponto, eliminando parte das retas tracejadas, da seguinte maneira:

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Elementos do plano cartesiano

Quanto construímos o plano cartesiano, ele possui elementos importantes. O encontro dos dois eixos é conhecido como origem, representada pela letra O, e possui coordenadas (0, 0).

Além da origem, o plano cartesiano é dividido em quatro partes, que conhecemos como quadrantes. Os quadrantes são nomeados no sentido anti-horário, iniciando pelo quadrante que possui valores positivos para as abscissas e ordenadas:

Os quadrantes do plano cartesiano podem ser representados também pela letra maiúscula Q seguida da numeração do quadrante:

• Q_I → 1º quadrante

• Q_II → 2º quadrante

• Q_III → 3º quadrante

• Q_IV → 4º quadrante

Sinais no quadrante

Quando fazemos a representação de pontos no plano cartesiano, fazemos uma análise do sinal do par ordenado para identificar em qual quadrante esse ponto se encontra.

Então, temos que:

1º quadrante, os valores de x e de y são positivos → (+, +)

2º quadrante, o valor de x é negativo e o de y é positivo → (–, +)

3º quadrante, os valores de x e de y são negativos → (– , –)

4º quadrante, o valor de x é positivo e o de y é negativo → (+, –)

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Exercícios resolvidos sobre plano cartesiano

Questão 1 - Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir:

I - O eixo vertical é conhecido também como eixo das ordenadas.

II - O ponto A (5, -3) é um ponto do terceiro quadrante.

III - O eixo horizontal é conhecido também como eixo das coordenadas.

Podemos afirmar que:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

Resolução

Alternativa A

I → Verdadeira

II → Falsa. As coordenadas possuem sinal (+, –), logo, esse ponto pertence ao 4º quadrante.

III → Falsa. O eixo horizontal é conhecido também como eixo das abcissas.

Questão 2 - No plano cartesiano a seguir, foram marcados alguns pontos:

As coordenadas do ponto E e do ponto F são, respectivamente:

A) (-3, 1) e (2, -2)

B) (1, 3) e (2, 2)

C) (2, -2) e (3, -1)

D) (-2, 2) e (1, -3)

E) (2, 2) e (1, 3)

Resolução

Alternativa D

Analisando o plano cartesiano, podemos perceber que o ponto E está a 2 unidades da origem em relação ao eixo x, mas note que é para a esquerda, ou seja, x = -2.

Analisando o eixo vertical, o ponto está a 2 unidades da origem para o lado positivo do eixo y, logo, y = 2 e sua coordenada é (-2, 2).

Analisando o ponto F, ele está a 1 unidade no eixo x e a -3 unidades no eixo y, então, sua coordenada é (1, -3).

As coordenadas de E e F são, respectivamente, (-2, 2) e (1, -3).