Considere duas retas distintas e paralelas r e s, como mostra a figura.
Temos que:
r ∕∕ s ↔ tg α1 = tg α2 ou mr = ms
Isso quer dizer que duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares forem iguais.
Exemplo 1. Verifique se as retas r: y = 3x – 2 e s: 6x – 2y + 5 = 0 são paralelas.
Solução: Precisamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.
Vamos determinar o coeficiente angular da reta r:
Como a equação da reta r está na forma reduzida, fica fácil ver que mr = 3.
Agora vamos determinar o coeficiente angular da reta s.
6x – 2y + 5 = 0
2y = 6x + 5
y = 3x + 5/2
Daí, vemos que ms = 3
Como mr =ms =3, podemos afirmar que r // s.
Exemplo 2. Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é paralela à reta t de equação y = 5x – 7.
Solução: Como s // t → ms = mt = 5
Conhecemos um ponto da reta s e seu coeficiente angular. Basta utilizarmos a fórmula:
y – y0 = ms(x – x0)
y – 5 = 5(x – 3)
y – 5 = 5x – 15
y = 5x – 10 → equação da reta s.
Exemplo 3. Para quais valores de k as retas 3x + 2y – 1 = 0 e kx – 3y + 1 = 0 são paralelas?
Solução: Para as duas retas serem paralelas, os seus coeficientes angulares devem ser iguais. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas em questão.
Daí segue que: