O Teorema de Laplace

O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator.

Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número:

Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:

1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.

2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.

3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.

Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou igual a 4.

Faremos alguns exemplos de aplicação do teorema proposto.

Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o Teorema de Laplace.

Solução: Primeiro, vamos calcular o determinante utilizando o método prático de Sarrus.

Agora, vamos calcular o determinante utilizando o Teorema de Laplace.

Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.

Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:

Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja:
D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4.

Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.

Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o Teorema de Laplace.

Solução: Devemos escolher uma linha ou uma coluna da matriz A.

Se escolhermos a coluna 2, teremos:

Pelo teorema de Laplace, sabemos que:
D = a₁₂?A₁₂ + a₂₂?A₂₂ + a₃₂?A₃₂ + a₄₂?A₄₂

Segue que:

Assim, o determinante da matriz A será:

D = 3?9 + 2?48 + 1?(-24) + 1?(-15) = 27 + 96 - 24 - 15 = 84

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