O teorema de D'Alembert

O teorema de D’Alembert é uma extensão do teorema do resto, que diz que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo x – a será R = P(a). D’Alembert provou que a divisão de um polinômio por um binômio x – a será exata, isto é, R = 0, se P(a) for igual a zero. Esse teorema facilitou as conclusões referentes à divisão de polinômios por binômios, uma vez que se torna desnecessária a realização da divisão para comprovar se ela é ou não exata.

Vejamos através de exemplos a praticidade desse teorema.

Exemplo 1. Determine qual será o resto da divisão do polinômio P(x) = x⁴ – 3x³ + 2x² + x pelo binômio x – 2.

Solução: Pelo teorema do resto, sabemos que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo x – a será P(a).

Assim, temos que:
R = P(2)
R=2⁴– 3∙2³ + 2∙2² + 2
R = 16 – 24 + 8 + 2
R = 2

Portanto, o resto da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x – 2 será 2.

Exemplo 2. Verifique se a divisão de P(x) = 3x³ – 2x² – 5x – 1 por x – 5 é exata.

Solução: A divisão de P(x) por x – 5 será exata se o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, utilizaremos o teorema de D’Alembert para verificar se o que restou é ou não igual a zero.

Segue que:

R = P(5)
R=3∙5³ –2∙5²  –5∙5 – 1
R = 375 – 50 – 25 – 1
R = 299

Como o resto da divisão é diferente de zero, a divisão não é exata.

Exemplo 3. Calcule o resto da divisão de P(x) = x³ – x² – 3x – 1 por x + 1.

Solução: Observe que o teorema se refere às divisões de polinômios por binômios do tipo x – a. Dessa forma, devemos nos atentar para o binômio do problema: x + 1. Ele pode ser escrito da seguinte maneira: x – (– 1). Assim, teremos:

R = P(– 1)
R= (-1)³ – (–1)² – 3∙(–1) – 1
R =  – 1 – 1 + 3 – 1
R = 0

O resto da divisão de P(x) por x + 1 é zero, logo, podemos afirmar que P(x) é divisível por x + 1.

Exemplo 4. Determine o valor de c para que P(x) = x⁵ – cx⁴ + 2x³ + x² – x + 6 seja divisível por x – 2.

Solução: Pelo teorema de D’Alembert, o polinômio P(x) é divisível por x – 2 se R = P(2) = 0. Assim, temos que:

R = P(2) = 0
2⁵ – c∙2⁴ + 2∙2³ + 2² –2 + 6 = 0
32 – 16c + 16 + 4 – 2 + 6 = 0
– 16c = – 56
c = 56 / 16
c = 7 / 2