Multiplicação de fração algébrica

As frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. Como as incógnitas são números reais cujo valor é desconhecido, as operações básicas matemáticas que são válidas para os números reais também valem para essas frações. Dessa maneira, para facilitar a compreensão das multiplicações de frações algébricas, mostraremos como uma multiplicação entre frações numéricas deve ser realizada.

Multiplicação de fração numérica

A regra para multiplicar frações é a seguinte: multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. Observe o exemplo:

12·10
15 12

12·10
15·12

120
180

Após o processo de multiplicação, inicia-se o processo de simplificação de frações. Para isso, divida numerador e denominador por um mesmo número inteiro, se for possível.

120:60 = 2
180:60 = 3

O resultado da multiplicação no exemplo é 120/180, que também pode ser escrito como 2/3 ou qualquer outra fração equivalente.

Multiplicação de fração algébrica

A multiplicação com frações algébricas é feita da mesma maneira: multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. Observe o exemplo.

16x²y⁴ ·4x³y² = 16x²y⁴4x³y²
x³ y³                x³y³

É possível usar inúmeras propriedades para tentar simplificar o resultado obtido na multiplicação, como as propriedades de multiplicação de números reais – comutatividade, associatividade etc. Observe:

16x²y⁴4x³y² = 16·4x²x³y⁴y²
x³y³                x³y³

Com isso, podemos multiplicar os números reais que aparecem no resultado e usar a propriedade da multiplicação de potências para agrupar as incógnitas “semelhantes”, isto é, que possuem mesma base, mas não mesmo expoente. Para multiplicar incógnitas assim, apenas mantenha a base e some os expoentes. Observe:

64x²x³y⁴y²
x³y³

64x^2-3y^4-2
x³y³

64x^-1y²
x³y³

Ainda é possível utilizar duas propriedades de potências para simplificar mais ainda o resultado. A primeira é a seguinte: quando uma potência possui expoente negativo, inverte-se a base e o sinal do expoente. No nosso caso, x está elevado a -1. Invertendo a base e o sinal do expoente de forma isolada, temos a fração 1/x. Aplicando essa propriedade nas frações algébricas, quando alguma potência do numerador possui expoente negativo, basta reescrevê-la no denominador e vice-versa.

 64x^-1y ² =   64y²   =   64y²
  x³y³       xx³y³       x⁴y³

Para finalizar o exercício, só resta usar a propriedade da divisão de potências para eliminar a incógnita y repetida. Observe:

 64y² =  64  
x⁴y³    x⁴y

Esse é o resultado final do exemplo dado. As multiplicações de fração algébrica em si não são operações difíceis e, por isso, elas costumam vir acompanhadas de alguma simplificação. Geralmente elas envolvem fatoração de expressões algébricas, mas o exemplo dado acima também é muito comum. Para aprender os possíveis casos de fatoração de expressões algébricas, clique aqui.