Divisão de frações

A divisão de frações é uma operação matemática. Essa operação determina que a divisão entre duas frações é igual à multiplicação entre a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

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Resumo sobre divisão de frações

• Divisão de frações é uma operação matemática.

• A divisão entre as frações \(\frac{a}b\) e \(\frac{c}d\) é igual à multiplicação entre as frações \(\frac{a}b\) e \(\frac{d}c\).

• Podemos representar a divisão entre as frações \(\frac{a}b\) e \(\frac{c}d\) das seguintes maneiras: \(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=a/b÷c/d=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\)

Como se faz a divisão de frações?

Considere as frações \(\frac{a}b\) e \(\frac{c}d\), em que a, b, c e d representam números quaisquer, com \(b≠0\ e\ d≠0\). Assim, a divisão de \(\frac{a}b\) e \(\frac{c}d\) é a multiplicação de \(\frac{a}b\) e \(\frac{d}c\) . Em notação matemática:

\(\frac{a}b÷\frac{c}d=\frac{a}b×\frac{d}c=\frac{ad}{bc}\)

Em outras palavras, a divisão de duas frações é calculada pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda (ou seja, trocando o numerador pelo denominador e vice-versa). Vejamos um exemplo.

Exemplo 1: Calcule a divisão \(\frac{2}{3}÷\frac{1}4\).

A divisão de \(\frac{2}3\) por \(\frac{1}4\) é a multiplicação de \(\frac{2}3\) por \(\frac{4}1\):

\(\frac{2}3÷\frac{1}4=\frac{2}3×\frac{4}1=\frac{2‧ 4}{3‧1}=\frac{8}3 \)

Observação: A operação de divisão de frações ocorre da mesma maneira para frações com denominadores iguais ou diferentes. Isso significa que o procedimento para resolver uma operação de divisão de frações é único.

Exemplo 2: Calcule a divisão \(\frac{1}2÷\frac{5}2\).

A divisão de \(\frac{1}2\) por \(\frac{5}2\) é a multiplicação de \(\frac{1}2\) por \(\frac{2}5\):

\(\frac{1}2÷\frac{5}2=\frac{1}2×\frac{2}5=\frac{1‧2}{2‧5}=\frac{2}{10}=\frac{1}5\)

Representação da divisão de frações

Até aqui, representamos a divisão das frações \(\frac{a}b\) e \(\frac{c}d\) pela notação \(\frac{a}{b}÷\frac{c}d\). No entanto, há outras maneiras de escrever essa operação, como identificando a barra da fração pelo símbolo /, escrevendo \(a/b÷c/d\).

Uma terceira possibilidade é considerar que a barra de fração simboliza uma divisão, e, portanto, uma fração pode ser utilizada para expressar a divisão entre duas frações. Parece confuso, mas é apenas uma questão de escrita. Observe a representação a seguir:

\(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\)

Perceba que é possível visualizar essa composição como uma fração de numerador \(\frac{a}b\) e denominador \(\frac{c}d\). Portanto, isso se refere à divisão \(\frac{ a}b÷\frac{c}d\).

Em resumo, as representações são:

\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=a/b÷c/d=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\)

No exemplo anterior, calculamos a divisão \(\frac{1}2÷\frac{5}2\).  Essa operação pode ser expressa por:

\(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}\)

Leia também: Como fazer a simplificação de frações?

Exercícios resolvidos sobre divisão de frações

Questão 1

Qual o resultado da operação \(\frac{3}2÷\frac{1}7 \)?

A) 3,7

B) 9,1

C) 2,3

D) 10,5

E) 8,7

Solução

Alternativa D

A divisão de \(\frac{3}2\) por \(\frac{1}7\) é calculada pela multiplicação entre \(\frac{3}2\) por \(\frac{7}1\):

\(\frac{3}2÷\frac{1}7=\frac{3}2×\frac{7}1=\frac{3‧7}{2‧1}=\frac{21}2\)

Como as alternativas estão em formato decimal, devemos converter o resultado \(\frac{21}2\) em notação decimal: \(\frac{ 21}2=10,5\).

Questão 2

Considere \( A=\frac{7}9÷\frac{2}3\) e \(B=\frac{1}5÷\frac{1}6\). Qual o valor de A/B?

Solução

Primeiramente, vamos determinar o valor de A:

\(A=\frac{7}9÷\frac{2}3=\frac{7}9×\frac{3}2=\frac{7‧3}{9‧2}=\frac{21}{18}=\frac{7}6\)

Agora, determinamos o valor de B:

\(B=\frac{1}5÷\frac{1}6=\frac{1}5×\frac{6}1=\frac{1‧6}{5‧1}=\frac{6}5\)

Assim, A/B é a divisão de \(\frac{7}6\) por \(\frac{6}5\):

\(A/B=\frac{7}6÷\frac{6}5=\frac{7}6×\frac{5}6=\frac{35}{36} \)