Definição: seja x um número real qualquer, denomina-se módulo ou valor absoluto de x e representa-se por |x|, o número real não negativo, tal que:
|x| = x, se x ≥ 0
ou
|x| = - x, se x < 0
Assim:
O módulo de um número será ele mesmo se este número for maior ou igual a zero.
O módulo de um número será o simétrico dele se este número for negativo.
O módulo de um número será sempre um positivo.
Exemplo 1.
a) | 34 | = 34 b) | -5 | = 5 c) | 0 | = 0 d) | -13 | = 13 e) |-√2|= √2
Identidade importante:
Exemplo 2. Calcule o valor da expressão |5 – 12,3|
Solução: temos que
|5 – 12,3| = | - 7,3 | = 7,3
Exemplo 3. Simplifique a fração:
Solução: Temos que
| x + 5 |= x + 5, se x + 5 ≥ 0, ou x ≥ - 5.
ou
| x + 5 | = - (x+5), se x + 5 < 0 ou x < -5.
Assim, teremos duas possibilidades:
Exemplo 4. Resolva a equação
Solução: Temos que
Então,
| x | = 36 → que é uma equação modular.
De uma forma geral, se k é um número real positivo, temos:
| x| = k → x = k ou x = - k
Daí,
| x | = 36 → x = 36 ou x = -36
Portanto, S = {-36, 36}
Exemplo 5. Resolva a equação |x + 5| = 12
Solução: Temos que
|x + 5| =12 → x + 5 = 12 ou x + 5 = -12
Segue que
x + 5 = 12 → x = 12 – 5 → x = 7
ou
x + 5 = -12 → x = -12 – 5 → x = -17
Portanto, S = {-17, 7}