O mínimo múltiplo comum, conhecido também como MMC, é o menor número inteiro diferente de zero que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo. Para calculá-lo, podemos fazer a lista dos múltiplos de cada um dos números até encontrar o primeiro múltiplo em comum, ou realizar as divisões sucessivas dos dois números simultaneamente e multiplicar os quocientes.
Leia também: 3 macetes de Matemática para o Enem
Como calcular o MMC
Para encontrar o MMC de dois números, há vários métodos, mas dois são mais usuais. O primeiro deles é a comparação dos múltiplos de cada um dos números. Escrevemos a lista de múltiplos de cada um deles até encontrar um que seja comum aos dois números. Esse processo pode ser interessante para números pequenos, mas se torna cada vez mais trabalhoso quando o número é maior.
Exemplo 1:
MMC (12, 15)
Vamos escrever a lista de múltiplos de cada um dos números até encontrar o primeiro múltiplo em comum entre eles que seja diferente de zero.
M (12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60…}
M(15) = {0,15, 30, 45, 60….}
Perceba que o 60 é múltiplo tanto de 12 quanto de 15, sendo, portanto, um múltiplo em comum. Existem mais múltiplos em comum entre 12 e 15, mas nosso interesse é encontrar o menor deles, que no caso é o 60. Desse modo, temos que:
MMC (12,15) = 60
O outro método é a fatoração. Primeiramente realizamos divisões sucessivas para encontrar os fatores desses números e, em seguida, multiplicamos esses fatores.
Exemplo 2:
MMC (48, 84)
→ Método 1:
M(48) = {0, 48, 96, 144, 192, 240, 288, 336 ...}
M(84)= {0, 84, 169, 252, 336...}
Então, o MMC (48, 84) = 336.
→ Método 2:
Veja também: Temas de Matemática que mais caem no Enem
Propriedades do MMC
Existem algumas propriedades importantes do MMC que podem facilitar, quando aplicadas, as operações.
1ª propriedade: quando dois números são primos entre si, ou seja, não possuem nenhum número diferente de 1 que divida os dois ao mesmo tempo, o MMC desses números é o produto entre eles.
Exemplo 1:
MMC (14, 9)
Note que os divisores de 14 são D(14) ={1,2,7}, e os divisores de 9 são {1,3}. Sendo assim, não existe nenhum divisor em comum entre esses números, logo:
MMC (14,9) = 14 × 9
2ª propriedade: quando o maior número é divisível pelo menor, então o MMC é o maior deles.
Exemplo 2:
MMC (6, 18)
M (6) = {0, 6, 12 , 18...}
M(18) = {0, 18 ….}
MMC (6, 18) = 18
MMC e frações
Uma das principais aplicações do MMC é na realização de soma e subtração de frações com denominadores diferentes. Para realizar a soma, é necessário igualar o denominador das frações, ou seja, encontrar um múltiplo comum para os dois denominadores. Assim sendo, o MMC se torna interessante nesse caso, pois, quanto menor for esse múltiplo, mais fácil será realizar essa operação.
Exemplo:
Calcule a soma das frações:
Como os denominadores são diferentes, encontraremos o MMC entre eles:
MMC (4,6)
M(4) = {0, 4 , 8 , 12 ….}
M(6) = {0,6, 12 …}
MMC (4,6) = 12
Conhecendo o MMC, vamos multiplicar cada uma das frações por um número, de modo que o denominador fique igual a 12.
Na primeira fração, sabemos que 12:4 = 3, então multiplicaremos o numerador e o denominador por 3 na primeira fração.
Já na segunda fração,12:6= 2, então multiplicaremos o numerador e o denominador por 2, logo:
Agora que os denominadores são iguais, para somar as frações, basta somar os numeradores:
MMC e MDC
Além do mínimo múltiplo comum (MMC), existe o máximo divisor comum (MDC), que é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo. Para encontrá-lo, fazemos a lista de divisores de cada um dos números e buscamos o maior número que os divide ao mesmo tempo.
Exemplo:
MDC{36,48}
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D(48) = {1, 2, 3, 4, 12, 16, 24, 48}
O maior divisor em comum desses dois números é o 12.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (Vunesp) Carmem, Ana e Cleonice executam a mesma tarefa, mas em intervalos de dias distintos, independentemente de o dia ser um final de semana ou feriado. Carmem executa essa tarefa de 3 em 3 dias; Ana, de 4 em 4 dias; e Cleonice executa essa tarefa de 6 em 6 dias. Domingo da semana passada, todas elas executaram essa tarefa. Logo, o próximo dia em que elas executarão essa tarefa em um mesmo dia será uma
A) segunda-feira.
B) terça-feira.
C) quarta-feira.
D) quinta-feira.
E) sexta-feira.
Resolução
Alternativa E.
Calculando o MMC entre 3,4,12:
M(3) ={0,3 ,6 ,9, 12 ...}
M(4)= {0,4 ,8, 12….}
M(6)= {0, 6, 12}
Após 12 dias, elas farão a tarefa no mesmo dia. Como se iniciou no domingo, então, depois de 12 dias, será sexta-feira.
Questão 2 – (IFG 2019) Antônio realiza atividades físicas regularmente, entre as modalidades de corrida, ciclismo e natação. Ele corre a cada três dias, pedala dia sim e dia não e nada de quatro em quatro dias. Certa vez, coincidiu de realizar essas três atividades físicas no mesmo dia. É correto afirmar que essa coincidência voltará a ocorrer daqui a
A) 6 dias.
B) 8 dias.
C) 10 dias.
D) 12 dias.
Resolução
Alternativa D.
Queremos o MMC entre 2,3 e 4.
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12...}
M(4) = {0, 4, 8, 12 …}