Menor complementar

O menor complementar é o número associado a cada termo de uma matriz, sendo muito utilizado no estudo desta. Se trata de um número encontrado na matriz que nos auxilia no cálculo do cofator de um determinando elemento da matriz. O cálculo do menor complementar e do cofator é útil para encontrar a matriz inversa ou para calcular o determinante de matrizes, de ordem 3 ou superior, dentre outras aplicações. 

Para realizar o cálculo do menor complementar D_ij, associado ao termo a_ij, eliminamos a linha i e a coluna j e calculamos o determinante dessa nova matriz. Para calcular o cofator C_ij, conhecendo o valor do seu menor complementar, temos que C_ij = (-1)^i+j D_ij.

Leia também: Quais são as propriedades dos determinantes das matrizes?

Resumo sobre menor complementar

• O menor complementar associado ao termo a_ij de uma matriz é representado por D_ij.

• O menor complementar é utilizado para calcular o cofator associado a um termo da matriz.

• Para encontrar o menor complementar de a_ij, removemos a linha i e a coluna j da matriz e calculamos o seu determinante.

• O cofator C_ij de um termo é calculado pela fórmula C_ij = (-1)^i+j D_ij.

Como calcular o menor complementar de um termo da matriz?

O menor complementar é o número associado a cada termo de uma matriz, ou seja, cada termo da matriz possui um menor complementar. É possível calcular o menor complementar para matrizes quadradas, ou seja, que possuem o mesmo número de linhas e colunas, de ordem 2 ou maiores. O menor complementar do termo a_ij é representado por D_ij e para encontrá-lo, é necessário calcular o determinante da matriz gerada quando eliminamos a coluna i e a linha j.

➝ Exemplos de cálculo do menor complementar de um termo da matriz

Os exemplos abaixo são de cálculo do menor complementar de uma matriz de ordem 2 e do menor complementar de uma matriz de ordem 3, respectivamente.

• Exemplo 1

Considere a seguinte matriz:

\(A=\left[\begin{matrix}4&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\)

Calcule o menor complementar associado ao termo a₂₁.

Resolução:

Para calcular o menor complementar associado ao termo a₂₁, eliminaremos a 2ª linha e a 1ª coluna da matriz:

\(A=\left[\begin{matrix}4&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\)

Note que restou somente a seguinte matriz:

\(\left[5\right]\)

O determinante dessa matriz é igual a 5. Assim, o menor complementar do termo a₂₁ é

D₂₁ = 5

Observação: É possível encontrar o cofator de qualquer um dos outros termos dessa matriz.

• Exemplo 2:

Dada a matriz B

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\),

encontre o menor complementar do termo b₃₂.

Resolução:

Para encontrar o menor complementar D₃₂, eliminaremos a linha 3 e coluna 2 da matriz B:

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\)

Eliminando os termos em destaque, restará a matriz:

\(\left[\begin{matrix}3&10\\1&5\\\end{matrix}\right]\)

Calculando o determinante dessa matriz, temos:

\(D_{32}=3\cdot5-10\cdot1\)

\(D_{32}=15-10\)

\(D_{32}=15-10\)

O menor complementar associado ao termo b₃₂ é, portanto, igual a 5.

Saiba também: Matriz triangular — aquela em que elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos

Menor complementar e cofator

O cofator também é um número que está associado a cada elemento da matriz. Para encontrar o cofator, é necessário antes calcular o menor complementar. O cofator do termo a_ij é representado por C_ij e calculado por:

\(C_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}D_{ij}\)

Sendo assim, é possível perceber que o cofator é igual ao menor complementar em valor absoluto. Caso a soma i + j seja par, o cofator será igual ao menor complementar. Se a soma i + j for igual a um número ímpar, o cofator será o inverso do menor complementar.

➝ Exemplo de cálculo de cofator de um termo da matriz

Considere a seguinte matriz:

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\)

Calcule o cofator do termo b₂₃.

Resolução:

Para calcular o cofator b₂₃, primeiramente calcularemos o menor complementar d₂₃. Para isso, eliminaremos a segunda linha e terceira coluna da matriz:

\(B=\left[\begin{matrix}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{matrix}\right]\)

Ao eliminar os termos destacados, encontraremos a matriz:

\(\left[\begin{matrix}3&8\\0&4\\\end{matrix}\right]\)

Calculando seu determinante, para encontrar o menor complementar d₂₃, temos que:

\(D_{23}=3\cdot4-0\cdot8\)

\(D_{23}=12-0\)

\(D_{23}=12\)

Agora que temos o menor complementar, calcularemos o cofator C₂₃:

\(C_{23}=\left(-1\right)^{2+3}D_{23}\)

\(C_{23}=\left(-1\right)^5\cdot12\)

\(C_{23}=-1\cdot12\)

\(C_{23}=-12\)

Então, o cofator do termo b₂₃ é igual a –12.

Veja também: Cofator e teorema de Laplace — quando usá-los?

Exercícios resolvidos sobre menor complementar

Questão 1

(CPCON) A soma dos cofatores dos elementos da diagonal secundária da matriz é:

\(\left[\begin{matrix}3&2&5\\0&-4&-1\\-2&4&1\\\end{matrix}\right]\)

A) 36

B) 23

C) 1

D) 0

E) – 36

Resolução:

Alternativa B

Queremos calcular os cofatores C₁₃, C₂₂ e C₃₁.

Começando por C₁₃, eliminaremos a linha 1 e a coluna 3:

\(\left[\begin{matrix}4&-4\\-2&0\\\end{matrix}\right]\)

Calculando seu cofator, temos:

C₁₃ = (– 1)¹⁺³ [0 ⸳ 4 – (– 2) ⸳ (– 4)]

C₁₃ = (– 1)⁴ [0 – (+ 8)]

C₁₃ = 1 ⸳ (– 8) = – 8

Agora, calcularemos C₂₂. Eliminaremos a linha 2 e a coluna 2:

\(\left[\begin{matrix}3&5\\-2&1\\\end{matrix}\right]\)

Calculando seu cofator:

C₂₂ = (– 1)²⁺² [3 ⸳ 1 – (– 2) ⸳ 5]

C₂₂ = (– 1)⁴ [3 + 10]

C₂₂ = 1 ⸳ 13 = 13

Em seguida, calcularemos C₃₁. Eliminaremos, então, a linha 3 e a coluna 1:

\(\left[\begin{matrix}2&5\\-4&-1\\\end{matrix}\right]\)

C₃₁ = (– 1)³⁺¹ [2 ⸳ (– 1) – (– 4) ⸳ 5]

C₃₁ = (– 1)⁴ [– 2 + 20]

C₃₁ = 1 ⸳ 18 = 18

Por fim, calcularemos a soma dos valores encontrados:

S = – 8 + 13 + 18 = 23

Questão 2

O valor do menor complementar do termo a₂₁ da matriz é:

\(\left[\begin{matrix}1&2&-1\\0&7&-1\\3&4&-2\\\end{matrix}\right]\)

A) – 4

B) – 2

C)  0

D) 1

E) 8

Resolução:

Alternativa C

Queremos o menor complementar \(D_{21}\). Para encontrá-lo, reescreveremos a matriz sem a segunda linha e a primeira coluna:

\(\left[\begin{matrix}2&-1\\4&-2\\\end{matrix}\right]\)

Calculando o determinante, temos que:

\(D_{21}=2\cdot\left(-2\right)-4\cdot\left(-1\right)\)

\(D_{21}=-4+4\)

\(D_{21}=0\)