MDC (máximo divisor comum)

O máximo divisor comum (MDC) de dois (ou mais) naturais é o maior divisor comum a eles. Esse conceito é utilizado na resolução de problemas, como veremos nos exemplos a seguir.

Podemos encontrar o MDC de dois (ou mais) naturais de duas formas: listando os divisores ou decompondo os números em fatores primos que os dividam simultaneamente.

Leia também: Divisão — dicas para resolver essa operação matemática

O que é MDC?

MDC é a sigla para máximo divisor comum. Determinar o MDC de dois (ou mais) naturais significa encontrar o maior divisor simultâneo desses naturais. Lembrando que o divisor de um número é um valor pelo qual o número pode ser dividido com resto igual a 0. Por exemplo, sabemos que 10 ÷ 2 = 5 , com resto 0. Assim, 2 é divisor de 10. De modo equivalente, 10 ÷ 5 = 2 , com resto 0, portanto, 5 é divisor de 10.

Exemplo: Qual o MDC de 12 e 16?

Enumeraremos os divisores de 12 e 16 para identificar o maior divisor comum a ambos. Podemos representar os divisores positivos de 12 por D(12) e os divisores positivos de 16 por D(16).

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Os divisores em comum de 12 e 24 são 1, 2, 4, 6 e 12. Como MDC é o maior entre eles, então o MDC de 12 e 24 é 12. Em notação matemática, escrevemos MDC(12, 24) = 12.

Observação: Como trabalhamos com divisores para a determinação do MDC, é muito útil conhecer os critérios de divisibilidade.

Como se calcula o MDC?

Podemos calcular o MDC entre dois (ou mais) naturais de duas maneiras: listando os divisores de cada número e selecionando o maior divisor comum ou decompondo os naturais em fatores primos que os dividam simultaneamente. Enquanto a primeira maneira decorre diretamente da definição de MDC, a segunda é mais prática para naturais com muitos divisores. Vejamos o funcionamento de cada uma.

• Calculado o MDC listando os divisores

Exemplo: Qual o MDC de 24 e 64?

Vamos representar os divisores positivos de 24 por D(24) e os divisores positivos de 64 por D(64).

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

D(64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

Observe que os divisores em comum de 24 e 64 são 1, 2, 4 e 8. Como MDC é o maior entre os divisores simultâneos, então o MDC entre 24 e 64 é 8. Em notação matemática, escrevemos MDC(24, 64) = 8.

• Calculado o MDC fatorando

Exemplo: Qual o MDC de 120 e 250?

Decomporemos os números 120 e 250 em fatores primos que os dividam simultaneamente até que isso não seja mais possível:

Como não há fator primo que dívida, ao mesmo tempo, 12 e 25, o método para aqui. Assim, o MDC entre 120 e 250 é 2 x 5 = 10. Em notação matemática, escrevemos MDC(120, 250) = 10.

Atenção: Observe que o procedimento de fatoração para cálculo do MDC é semelhante à fatoração para cálculo do MMC, porém não é idêntico. Para cálculo do MDC, buscamos fatores que dividam simultaneamente os números, enquanto, para cálculo do MMC, é suficiente que cada fator divida um dos números. É possível, utilizando essa técnica, encontrar, ao mesmo tempo, o MMC e o MDC de um grupo de naturais, desde que sejam destacados os fatores que dividam todos.

Videoaula sobre o máximo divisor comum (MDC)

Quais são as propriedades do MDC?

• O MDC de dois (ou mais) números em que o menor é divisor do maior é o menor deles.
  • Exemplo: Qual o MDC de 50 e 5? Como 5 é divisor de 50, essa propriedade determina que MDC (50, 5) = 5.
• Qualquer divisor do MDC de dois (ou mais) números também será divisor desses números.
  • Exemplo: MDC(16, 24) = 8. O número 4 é divisor de 8. Observe que 4 também é divisor de 16 e de 24.
• O MDC de dois números é igual ao MDC do menor e da diferença entre o maior e o menor. Em notação matemática, considerando a e b naturais, com a :

\(mdc\left(a,b\right)=mdc\left(a,b-a\right)\)

Observação: Essa propriedade pode ser aplicada mais de uma vez.

• • Exemplo: Qual o MDC de 18 e 24? Utilizando a propriedade:

\(mdc(18,\ 24)=mdc(18,\ 24-18)=mdc(18,\ 6)=6\)

• O MDC de dois números é igual ao MDC do menor e do resto da divisão do maior pelo menor. Em notação matemática, considerando a e b naturais, com a , e r o resto da divisão de b por a:

\(mdc(a,b)=mdc(a,\ r)\)

• • Exemplo: Qual o MDC de 20 e 50? Como 50 dividido por 20 resulta em quociente 2 e resto 10, pela propriedade, temos que:

\(mdc(20,\ 50)=mdc(20,\ 10)=10\)

• O produto do MMC pelo MDC de dois números é igual ao produto entre esses números. Em notação matemática, considerando a e b naturais:

\(mmc\left(a,b\right).mdc\left(a,b\right)=a.b\)

Quais as diferenças entre MDC e MMC?

Apesar de relacionados, os conceitos de MDC e MMC são diferentes:

• MDC é o máximo divisor comum, ou seja, o maior divisor simultâneo de um grupo de números.
• MMC é o mínimo múltiplo comum, ou seja, o menor múltiplo simultâneo de um grupo de números.

Para distinguir cada um, é muito importante dominar as ideias de múltiplos e divisores de números naturais.

Leia também: Divisão com números decimais

Exercícios resolvidos sobre MDC

Questão 1

(Enem) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

a) 105 peças.

b) 120 peças.

c) 210 peças.

d) 243 peças.

e) 420 peças.

Solução: letra E

Inicialmente, devemos determinar o comprimento das peças. O carpinteiro deverá cortar tábuas de mesmo comprimento, sem deixar sobrar, de modo que as novas peças fiquem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Isso significa que precisamos de uma medida de comprimento que seja um divisor comum entre 540 cm, 810 cm e 1080 cm.

Como MDC(540, 810, 1080) = 270, isso indicaria uma medida de comprimento de 270 cm (2,7 m) para as peças. No entanto, como o comprimento deve ser menor que 2 m, a medida buscada é um divisor de 270, ou seja, 135.

Assim, a quantidade de novas peças será dada por:

\(\frac{40.540\ +\ 30.810\ +\ 10.1080}{135}\ =420\)

Questão 2

(Enem) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;

2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;

3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é

a) 2.

b) 4.

c) 9.

d) 40.

e) 80.

Solução: letra C

Com base nos critérios estabelecidos, podemos determinar o número de ingressos distribuídos para cada escola. Como MDC(400, 320) = 80, cada escola receberá 80 ingressos. Dessa forma, o total de 720 ingressos será igualmente repartido entre 9 escolas.