Matriz inversa

Matriz inversa é o elemento neutro da multiplicação entre matrizes. Chamamos de matriz inversa da matriz A a matriz A^-1, em que, ao multiplicarmos a matriz A pela matriz A^-1, temos como produto a matriz identidade I_n, logo, sabemos que A ⋅ A^-1 = I_n. Para encontrar a inversa de uma matriz com elementos conhecidos, utilizamos a igualdade do produto entre as matrizes, resolvendo uma equação para determinar os elementos da inversa. No estudo das matrizes inversas, há algumas propriedades importantes: uma matriz quadrada tem matriz inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Leia também: Matrizes — o que são, elementos tipos e representações

Resumo sobre matriz inversa

• A matriz inversa de A, denotada por A^-1, satisfaz a condição A × A^-1 = I, em que I é a matriz identidade.
• A matriz identidade é a matriz que tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.
• A matriz tem inversa se ela for quadrada e ter determinante diferente de zero.
•  Existem propriedades específicas de matrizes inversas.

Videoaula sobre matriz inversa

O que é matriz inversa?

Dada a matriz A, a matriz inversa da matriz A, denotada por A^-1, é a matriz cujo produto da matriz A por ela seja igual à matriz identidade, ou seja:

\(A \cdot A^{-1} = I_n \)

A matriz identidade é a matriz cujos termos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais termos são iguais a zero.

Exemplos de matriz identidade:

\(I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\\)

\(I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\\)

\(I_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Exemplo de matriz inversa:

Dada a matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \), a matriz inversa de A é a matriz \(A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} \end{pmatrix} \), pois temos que:

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Como calcular a matriz inversa

Para calcular a matriz inversa, existem diferentes métodos, faremos o mais clássico deles, que é a resolução de equações envolvendo matrizes. Vejamos como resolvê-lo no exemplo a seguir.

Exemplo:

Calcule a matriz inversa da matriz:

\(A = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} \)

Para encontrar a matriz inversa de A, vamos representar o seguinte produto:

\(\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Agora, vamos realizar a multiplicação entre essas matrizes e encontrar as equações:

\(\text{I} \quad 4a + 4c = 1 \ \quad \text{II} \quad 4b + 4d = 0 \ \quad \text{III} \quad 8a + 6c = 0 \ \quad \text{IV} \quad 8b + 6d = 1 \)

Da equação II, temos que:

\(4b+4d=0\)

\(4b=-4d\)

\(b=-d\)

Substituindo na equação IV, temos que:

\(8b+6d=1\)

\(8(-d) + 6d = 1 \)

\(-8d+6d=1\)

\(-2d=1\)

\(d = \frac{1}{-2} = \frac{-1}{2} \)

Então, sabemos que b = - d.

Logo, temos que:

\(b = -\left( \frac{-1}{2} \right) = \frac{1}{2} \)

Da equação III, temos que:

\(8a+6c=0\)

\(8a=6c\)

\(a = \frac{-6c}{8} \)

\(a = \frac{-3c}{4} \)

Substituindo em I, temos que:

\(4a+4c=1\)

\(4 \cdot \left( \frac{-3c}{4} \right) + 4c = 1 \)

\(-3c+4c=1\)

\(c=1\)

Então, temos que:

\(a = \frac{-3c}{4} \)

\(a = \frac{-3 \cdot 1}{4} \)

\(a = \frac{-3}{4} \)

Sendo assim, a matriz inversa será:

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-3}{4} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{-1}{2} \end{pmatrix} \)

Esse método pode se estender para matrizes de qualquer ordem, entretanto, quanto maior for a ordem, mais equações teremos.

Veja também: O que é uma matriz nula?

Determinante da matriz inversa

Existe um método específico para matrizes de ordem 2. Caso a matriz seja de ordem 2, podemos calculá-la assim:

Dada a matriz \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)

\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Exemplo:

Dada a matriz:

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \)

De modo geral, sabemos que a matriz A tem matriz inversa se, e somente se, det(A) ≠ 0.

Propriedades da matriz inversa

A matriz inversa tem propriedades importantes:

• A inversa da matriz inversa A é igual à matriz A: (A^-1)^-1 = A.

• Uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero.

•  Caso o determinante det(A) seja igual a zero, a matriz não tem matriz inversa.

• A matriz transposta da matriz inversa é igual à matriz inversa da matriz transposta
  (A^-1)^t = (A^t)^-1.

• A inversa de uma matriz identidade é sempre igual a ela mesma: I^-1 = I.

• A inversa do produto de duas matrizes é igual ao produto das inversas: (A×B)^-1 = A^-1 × B^-1.

Saiba mais: Quais são as propriedades de uma matriz transposta?

Exercícios resolvidos sobre matriz inversa

Questão 1

A matriz \(A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ c & 2 \end{pmatrix} \) é uma matriz que não tem matriz inversa. Sendo assim, o valor de c é:

a) 2/3

b) 2/5

c) 5/2

d) 3/2

e) 10/2

Resolução:

Alternativa C

A matriz não admite inversa se o seu determinante for igual a zero, sendo assim, basta calcular o terminante da matriz A igualando-o a zero:

\(\det(A) = 5 \cdot 2 - 4c = 0 \)

\(10-4c=0\)

\(-4c=-10\)

\(4c=10\)

\(c = \frac{10}{4} \)

\(c = \frac{5}{2} \)

Questão 2

Seja \(A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \), qual é a matriz inversa de A?

a) \(\begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \)

b) \(\begin{pmatrix} -7 & 5 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \)

c) \(\begin{pmatrix} -7 & -5 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \)

d) \(\begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \)

e) \(\begin{pmatrix} 7 & 5 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \)

Resolução:

Alternativa A

Primeiro calcularemos o determinante de A.

\(\det(A) = 2 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = 14 - 15 = -1 \)

Agora, aplicando na fórmula:

\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

\(A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \)

\(A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \)

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \)

Fonte

Boldrini, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3ª ed. Harbra, 1986.