Matemática financeira

A matemática financeira é a área da Matemática que investiga o comportamento do dinheiro, principalmente em relação ao tempo. Movimentações comerciais (como a compra e venda de produtos e serviços) e financeiras (como empréstimos e investimentos) fazem parte do conjunto de conceitos e ferramentas que integram a matemática financeira.

Leia também: O que é o imposto de renda?

Resumo sobre matemática financeira

• A matemática financeira é o ramo da Matemática que estuda a variação do dinheiro no tempo.

• Alguns conceitos importantes da matemática financeira são: acréscimo, desconto, despesa, receita, lucro, juros (simples e compostos) e montante.

• Para calcular os juros simples produzidos a partir de um capital C, aplicado a uma taxa i por um tempo t, utilizamos a fórmula

\(J = C ⋅i ⋅t\)

• Para calcular o montante a juros compostos produzido a partir de um capital C, aplicado a uma taxa i por um tempo t, utilizamos a fórmula

\(M=C⋅(1+i)^t\)

• A matemática financeira possui grande importância em relação à organização responsável da vida financeira.

O que a matemática financeira estuda?

A matemática financeira é a área da Matemática que estuda a dinâmica do dinheiro, principalmente em relação ao tempo. Alguns tópicos de estudo da matemática financeira são:

• lucros;

• receitas e despesas (fluxo de caixa);

• juros simples e compostos;

• taxas de juros;

• investimentos;

• empréstimos.

Conceitos importantes da matemática financeira

→ Acréscimo e desconto

• Acréscimo

Acréscimo é um aumento de determinado valor calculado a partir de uma porcentagem sobre o valor.

Exemplo:

Um produto custava R$ 50 no mês de novembro. Qual o preço desse produto em dezembro, sabendo que houve um acréscimo de 20%?

Resolução:

Em dezembro, o preço do produto será a soma entre o valor original (R$ 50) e a porcentagem aplicada sobre esse valor (20% de R$ 50). Vamos representar por x o preço do produto em dezembro.

\(x=50+\frac{20}{100}⋅50\)

\(x = 50 + 10\)

\(x = 60\ reais\)

• Desconto

Desconto é uma redução de determinado valor calculada a partir de uma porcentagem sobre o valor.

Exemplo:

Antes de uma campanha promocional, um produto custava R$ 60. Se a promoção oferece 10% de desconto em qualquer item, qual o valor desse produto durante a campanha?

Resolução:

Durante a campanha promocional, o valor do produto é a diferença entre o preço original (R$ 60) e a porcentagem aplicada sobre esse valor (10% de R$ 60). Vamos representar com y o preço do produto durante a campanha.

\(y=60-\frac{10}{100}⋅60\)

\(y = 60 - 6\)

\(y = 54\ reais\)

→ Despesa, receita e lucro

• Despesa

A despesa é o recurso financeiro gasto. Em uma empresa, salários de funcionários, impostos e custos de produção são exemplos de despesas.

• Receita

A receita é o recurso financeiro arrecadado. Em uma empresa, as vendas de produtos ou serviços são exemplos de receitas.

• Lucro

O lucro é a diferença entre as receitas e as despesas.

→ Juros (simples e compostos) e montante

Juro é um valor agregado a uma quantia de dinheiro após um período de tempo. Em compras a prazo, por exemplo, é comum que sejam aplicados juros às parcelas, principalmente se estiverem em grande quantidade (ou seja, se o tempo para quitar a dívida for muito longo).

• Juros simples

Caso os juros sejam calculados sobre o valor inicial da operação financeira, chamamos de juros simples. Assim, os juros simples constituem um valor fixo.

• Juros compostos

Caso os juros sejam calculados sobre o valor acumulado do período anterior (ou seja, juros sobre juros), chamamos de juros compostos.

• Montante

Montante é a soma entre o valor inicial (também conhecido como capital inicial) e os juros de uma operação financeira.

Importante: Além desses conceitos, a matemática financeira também abrange o estudo da razão, proporção, regra de três, porcentagem e interpretação de tabelas e gráficos.

Fórmulas importantes da matemática financeira

→ Fórmula dos juros simples

Os juros simples (símbolo J) de uma operação financeira são calculados pela seguinte fórmula:

\(J = C ⋅i ⋅t\)

• C → capital (valor) inicial.

• i → taxa de juros.

• t → tempo (período).

O montante de uma operação no regime de juros simples é

\(M = C + J\)

\(M = C + C ⋅i ⋅t\)

\(M=C⋅1+i⋅t\)

→ Fórmula dos juros compostos

O montante de uma operação no regime de juros compostos é calculado pela seguinte fórmula:

\(M=C⋅(1+i)^t\)

• C → capital (valor) inicial.

• i → taxa de juros.

• t → tempo (período).

No contexto de juros compostos, o capital inicial também é conhecido como valor presente (VP em português ou PV, present value, em inglês) e o montante, como valor futuro (VF em português ou FV, future value, em inglês).

Importante: As unidades da taxa de juros e do tempo devem ser compatíveis. Se o tempo estiver expresso em meses, a taxa deve ser ao mês (a.m.); se o tempo estiver expresso em anos, a taxa deve ser ao ano (a.a.) e assim por diante. Isso vale tanto para a fórmula dos juros simples quanto para a fórmula dos juros compostos.

Veja também: Como funcionam os juros de cheque especial e de cartão de crédito?

Importância da matemática financeira

As trocas comerciais, a utilização de serviços e os financiamentos são alguns exemplos de movimentações financeiras. Nessas situações, conhecer os fundamentos da matemática financeira permite a tomada de decisões financeiras de forma consciente e responsável, seja pela elaboração de um planejamento ou pelo reconhecimento de possíveis tentativas de golpes e fraudes.

Exercícios resolvidos sobre matemática financeira

Questão 1

(Enem) Um administrador resolve estudar o lucro de sua empresa e, para isso, traça o gráfico da receita e do custo de produção de seus itens, em real, em função da quantidade de itens produzidos.

O lucro é determinado pela diferença: receita - custo.

O gráfico que representa o lucro dessa empresa, em função da quantidade de itens produzidos, é

A)

B)

C)

D)

E)

Resolução:

Alternativa A.

Quando a quantidade de itens produzidos varia de 5 até 15, o custo é superior à receita. Assim, o lucro é negativo nesse intervalo. Note que quando a quantidade é igual a 10, o custo começar a diminuir, enquanto a receita continua aumentando. Portanto, o lucro deve aumentar a partir desse ponto.

Quando a quantidade de itens produzidos é exatamente 15, o custo é igual à receita. Assim, o lucro é igual a zero nesse ponto.

Quando a quantidade de itens produzidos varia de 15 a 30, a receita é superior ao custo. Assim, o lucro é positivo nesse intervalo. Note que quando a quantidade é igual a 25, o custo começar a aumentar, enquanto a receita começa a diminuir. Portanto, o lucro deve diminuir a partir desse ponto. O gráfico que apresenta esse comportamento corresponde à alternativa A.

Questão 2

(Encceja) Uma pessoa necessita de um empréstimo de R$ 10 000,00. Uma instituição financeira oferece empréstimos a uma taxa de juros simples de 2% ao mês, sendo que a dívida gerada pelo empréstimo deve ser liquidada em uma única parcela, paga ao final do último mês do contrato.

Essa pessoa pretende pagar, no máximo, R$ 11 000,00 na liquidação dessa dívida.

O prazo máximo, em quantidade de meses, que deverá durar esse contrato é

A) 5.

B) 50.

C) 500.

D) 550.

Resolução:

Alternativa A.

O montante do empréstimo deve ser no máximo R$ 11 000,00. Assim, como se trata de juros simples, com C = 10000 e i = 2% = 0,02, temos que

\(M=C⋅1+i⋅t\)

\(11000=10000⋅1+0,02⋅t\)

\(11000=10000 + 200t\)

\(1000 = 200t\)

\(t = 5\ meses\)