As progressões apresentam aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, sendo fundamentais para compreensão de vários fenômenos da natureza e também sociais. A progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando o termo anterior a uma constante r, denominada de razão.
Interpolar significa “colocar entre”. Interpolar meios aritméticos entre dois números dados é acrescentar números entre estes que são conhecidos, de forma que a sequência numérica formada seja uma P.A. Para realizar a interpolação aritmética é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.A.
an = a1 + (n-1)∙r
Onde,
r → é a razão da P.A.
a1 → é o primeiro termo da P.A.
n → é o número de termos da P.A.
an → é o último termo da P.A.
Vejamos alguns exemplos sobre interpolação aritmética.
Exemplo 1. Interpole 7 meios aritméticos entre 6 e 46.
Solução: Interpolar 7 meios aritméticos entre 6 e 46 é acrescentar 7 números entre 6 e 46 para que a sequência formada seja uma P.A.
(6, _, _, _, _, _, _, _, 46)
Note que teremos uma P.A. com 9 termos em que o primeiro termo é 6 e o último é 46. Assim, segue que:
a1 = 6
n = 9
a9 = 46
Para determinarmos os termos que deverão ficar entre 6 e 46 é necessário determinar a razão da P.A. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral.
Encontrado o valor da razão, fica fácil determinar os demais elementos da sequência.
a2 = a1 + r = 6 + 5 = 11
a3 = a2 + r = 11 + 5 = 16
a4 = a3 + r = 16 + 5 = 21
a5 = a4 + r = 21 + 5 = 26
a6 = a5 + r = 26 + 5 = 31
a7 = a6 + r = 31 + 5 = 36
a8 = a7 + r = 36 + 5 = 41
Dessa forma, está completa a interpolação dos 7 meios aritméticos entre 6 e 46, formando a seguinte P.A:
(6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46)
Exemplo 2. Numa progressão aritmética, a1 = 120 e a11 = 10. Determine os meios aritméticos existentes entre a1 e a11.
Solução: Devemos obter os números existentes entre 120 e 10 para que a sequência obtida seja uma P.A.
(120, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 10)
Precisamos conhecer a razão dessa P.A.
Temos:
a1 = 120
a11 = 10
n = 11
Segue que:
Conhecido o valor da razão, basta determinar os demais termos da sequência:
a2 = a1 + r = 120 + (– 11) = 120 – 11 = 109
a3 = a2 + r = 109 + (– 11) = 109 – 11 = 98
a4 = a3 + r = 98 – 11 = 87
a5 = a4 + r = 87 – 11 = 76
a6 = a5 + r = 76 – 11 = 65
a7 = a6 + r = 65 – 11 = 54
a8 = a7 + r = 54 – 11 = 43
a9 = a8 + r = 43 – 11 = 32
a10 = a9 + r = 32 – 11 = 21
Portanto, obtemos a P.A:
(120, 109, 98, 87, 76, 65, 54, 43, 32, 21, 10)