Inequações trigonométricas: senx > k

As inequações trigonométricas são desigualdades cuja incógnita é alguma das funções trigonométricas senx, cosx ou tgx. As inequações trigonométricas sempre podem ser reescritas, por meio de operações e propriedades matemáticas, na forma de uma das desigualdades a seguir:

senx > k
senx < k
cosx > k
                                                                       cosx < k
                                                                         tgx > k
                                                                         tgx < k

Sabendo disso, para resolver inequações trigonométricas, devemos conhecer os métodos usados para reduzi-las às desigualdades apresentadas e resolver essas desigualdades. Neste artigo, usaremos o ciclo trigonométrico para resolver a desigualdade sex > k.

Para facilitar a compreensão, conheça algumas das definições e propriedades básicas a respeito do ciclo trigonométrico.

Ciclo trigonométrico

Uma circunferência de raio 1 un, com centro na origem de um plano cartesiano, pode ser chamada de ciclo trigonométrico. Na origem do plano cartesiano, devem ser colocados os vértices de todos os ângulos construídos no ciclo trigonométrico; um de seus lados deve estar sobre a parte positiva do eixo x; e o outro lado determinará a abertura desse ângulo, como mostra o exemplo a seguir:

É possível obter três tipos de valores sobre esse ângulo: o primeiro é o próprio ângulo, dado em graus; o segundo é o comprimento do arco da circunferência equivalente a esse ângulo, dado em radianos; e o terceiro são os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo, encontrados sobre os eixos x, y e das tangentes.

Essas três medidas estão interligadas, sendo que é possível encontrar os valores de seno, cosseno e tangente de um dado ângulo, bem como a medida do arco relativo a ele, usando apenas o ciclo trigonométrico.

Resolvendo a inequação senx > k

O eixo y, no ciclo trigonométrico, é conhecido como eixo dos senos. Se, por exemplo, marcarmos sobre o eixo x o ponto ½, será possível descobrir qual é o ângulo ligado a ele, e depois o comprimento do arco ligado a esse ângulo. Observe:

Fazendo uma reta que passa pela medida 0,5 sobre o eixo y (dos senos), paralela ao eixo x, os pontos de encontro entre essa reta e o ciclo formam dois ângulos cujo seno pode ser ½ = 0,5. Na figura acima, analisamos apenas um deles. Esse ângulo é de 30°, pois senx = ½ significa que x = 30°.

Agora, suponha que o ponto k foi escolhido em um lugar qualquer do eixo dos senos. A inequação:

senx > k

pode ser lida como o conjunto de pontos do ciclo que fazem com que o seno de x seja maior do que k. Esse conjunto de pontos constitui o seguinte intervalo, que é um arco:

Esse intervalo é a solução da inequação senx > k. Para representá-lo, devemos usar os ângulos α e β, que são seus limites, em radianos. Nesse caso, o ângulo β = π – α. Assim, temos:

S = {x E R/ x > α + 2kπ e x < π – α + 2kπ, com k E Z} ou

S = {x E R/ α + 2kπ < x < π – α + 2kπ, com k E Z}

A parcela 2kπ representa o número de voltas que foram dadas no ciclo.

Exemplo: qual é a solução da inequação senx > ½?

Observe que x = 30°. Como π = 180°, fazendo a regra de três, encontraremos x = π/6. Assim, a solução da inequação trigonométrica é:

S = {x E R/ π/6 + 2kπ < x < π – π/6 + 2kπ, com k E Z} =

S = {x E R/ π/6 + 2kπ < x < 5π/6 + 2kπ, com k E Z}